Constante de equilibrio y grado de disociación

a) Cálculo de $K_c$

Variación de moles gaseosos: $\Delta n = (2 + 1) - 2 = 1$. Entonces:$$K_c = \frac{K_p}{(RT)^{\Delta n}} = \frac{4{,}2\cdot 10^{-5}}{0{,}082\cdot 2600} = \frac{4{,}2\cdot 10^{-5}}{213{,}2} = 1{,}97\cdot 10^{-7}$$($K_c$ sale adimensional si se trabaja con concentraciones relativas; con unidades, $\text{mol}\,\text{L}^{-1}$.)

b) Moles de $\text{O}_2$ en el equilibrio

Si se forman $x$ moles de $\text{O}_2$, por estequiometría se forman $2x$ de $\text{H}_2$ y se gastan $2x$ de agua:Con $V = 100\ \text{L}$:$$K_c = \frac{[\text{H}_2]^2\,[\text{O}_2]}{[\text{H}_2\text{O}]^2} = \frac{\left(\dfrac{2x}{100}\right)^2\left(\dfrac{x}{100}\right)}{\left(\dfrac{1-2x}{100}\right)^2} = \frac{4x^3}{100\,(1-2x)^2} = 1{,}97\cdot 10^{-7}$$Como $K_c$ es muy pequeña, el agua apenas se disocia y se puede tomar $1 - 2x \approx 1$:$$4x^3 = 1{,}97\cdot 10^{-5} \;\Rightarrow\; x^3 = 4{,}93\cdot 10^{-6} \;\Rightarrow\; x \approx 1{,}70\cdot 10^{-2}\ \text{mol}$$Comprobación: $2x = 0{,}034$ frente a $1$, un $3{,}4\ \%$. La aproximación es razonable, pero se puede afinar volviendo a meter este valor en el término $(1-2x)^2 = 0{,}933$:$$x^3 = \frac{1{,}97\cdot 10^{-5}\cdot 0{,}933}{4} = 4{,}60\cdot 10^{-6} \;\Rightarrow\; x = 1{,}66\cdot 10^{-2}\ \text{mol}$$Una segunda vuelta ya no cambia el resultado. En el equilibrio hay:$$n(\text{O}_2) = 1{,}66\cdot 10^{-2}\ \text{mol} \qquad n(\text{H}_2) = 3{,}33\cdot 10^{-2}\ \text{mol} \qquad n(\text{H}_2\text{O}) = 0{,}967\ \text{mol}$$

c) Aumento de presión por disminución de volumen

Según el principio de Le Chatelier, al reducir el volumen (aumentar la presión total) el sistema evoluciona en el sentido que disminuye el número de moles gaseosos, para contrarrestar el aumento de presión. A la izquierda hay $2$ moles de gas y a la derecha $3$, así que el equilibrio se desplaza hacia la izquierda: se forma más agua y se disocia menos.

Se ve también con el cociente de reacción. Escrito en moles:$$Q_c = \frac{n_{\text{H}_2}^2\, n_{\text{O}_2}}{n_{\text{H}_2\text{O}}^2}\cdot\frac{1}{V}$$Al disminuir $V$, $Q_c$ aumenta y supera a $K_c$ (que no cambia, porque la temperatura es la misma), así que la reacción avanza hacia los reactivos hasta que $Q_c$ vuelve a valer $K_c$.