Solubilidad y precipitación

a) El sólido que puede formarse es el sulfato de bario, $\text{BaSO}_4$. Su equilibrio de solubilidad (heterogéneo, entre el sólido y sus iones en disolución) es:$$\text{BaSO}_4(s) \rightleftharpoons \text{Ba}^{2+}(aq) + \text{SO}_4^{2-}(aq) \qquad K_s = [\text{Ba}^{2+}]\,[\text{SO}_4^{2-}]$$El sólido no aparece en la expresión de $K_s$ (su actividad es 1). Las sales de partida se disocian por completo:$$\text{K}_2\text{SO}_4 \longrightarrow 2\,\text{K}^+ + \text{SO}_4^{2-} \qquad \text{Ba}(\text{NO}_3)_2 \longrightarrow \text{Ba}^{2+} + 2\,\text{NO}_3^-$$b) Volumen total (volúmenes aditivos): $V = 0{,}250 + 0{,}250 = 0{,}500\ \text{L}$.

Moles de cada ion aportados:$$n(\text{SO}_4^{2-}) = 0{,}250\ \text{L} \cdot 3{,}00\cdot 10^{-2}\ \text{mol}\,\text{L}^{-1} = 7{,}50\cdot 10^{-3}\ \text{mol}$$$$n(\text{Ba}^{2+}) = 0{,}250\ \text{L} \cdot 2{,}00\cdot 10^{-3}\ \text{mol}\,\text{L}^{-1} = 5{,}00\cdot 10^{-4}\ \text{mol}$$Concentraciones en la mezcla, antes de que precipite nada:$$[\text{SO}_4^{2-}]_0 = \frac{7{,}50\cdot 10^{-3}}{0{,}500} = 1{,}50\cdot 10^{-2}\ \text{M} \qquad [\text{Ba}^{2+}]_0 = \frac{5{,}00\cdot 10^{-4}}{0{,}500} = 1{,}00\cdot 10^{-3}\ \text{M}$$Producto iónico:$$Q = [\text{Ba}^{2+}]_0\,[\text{SO}_4^{2-}]_0 = 1{,}00\cdot 10^{-3} \cdot 1{,}50\cdot 10^{-2} = 1{,}50\cdot 10^{-5}$$$$Q = 1{,}50\cdot 10^{-5} > K_s = 1{,}1\cdot 10^{-10}$$La disolución estaría sobresaturada, así que sí se forma un precipitado de sulfato de bario, que sigue formándose hasta que el producto de las concentraciones baja hasta $K_s$.

Ampliación: como el sulfato está en gran exceso, precipita prácticamente todo el bario. Quedan $[\text{SO}_4^{2-}] \approx 1{,}50\cdot 10^{-2} - 1{,}00\cdot 10^{-3} = 1{,}40\cdot 10^{-2}\ \text{M}$ y en disolución solo$$[\text{Ba}^{2+}] = \frac{K_s}{[\text{SO}_4^{2-}]} = \frac{1{,}1\cdot 10^{-10}}{1{,}40\cdot 10^{-2}} \approx 7{,}9\cdot 10^{-9}\ \text{M}$$

c) El sulfato de amonio es una sal soluble que se disocia totalmente:$$(\text{NH}_4)_2\text{SO}_4 \longrightarrow 2\,\text{NH}_4^+ + \text{SO}_4^{2-}$$Aporta ion sulfato, que es ion común con el equilibrio de solubilidad del $\text{BaSO}_4$. Al aumentar $[\text{SO}_4^{2-}]$, el producto $[\text{Ba}^{2+}][\text{SO}_4^{2-}]$ supera a $K_s$ y, por el principio de Le Chatelier, el equilibrio se desplaza hacia la izquierda, hacia la formación del sólido. Por tanto, la solubilidad del sulfato de bario disminuye.

Para hacerse una idea: en agua pura $s = \sqrt{K_s} = \sqrt{1{,}1\cdot 10^{-10}} \approx 1{,}0\cdot 10^{-5}\ \text{M}$, mientras que en una disolución con $[\text{SO}_4^{2-}] = 0{,}01\ \text{M}$ sería $s = K_s/0{,}01 = 1{,}1\cdot 10^{-8}\ \text{M}$, unas mil veces menor. ($K_s$ no cambia: solo depende de la temperatura.)