Solubilidad y precipitación

a) Solubilidad en agua pura.$$\text{CaF}_2(s) \rightleftharpoons \text{Ca}^{2+}(aq) + 2\,\text{F}^-(aq)$$Si se disuelven $s$ mol/L de $\text{CaF}_2$: $[\text{Ca}^{2+}] = s$ y $[\text{F}^-] = 2s$.$$K_{ps} = [\text{Ca}^{2+}][\text{F}^-]^2 = s\,(2s)^2 = 4s^3$$$$s = \sqrt[3]{\frac{K_{ps}}{4}} = \sqrt[3]{\frac{3{,}5\cdot 10^{-11}}{4}} = \sqrt[3]{8{,}75\cdot 10^{-12}} = 2{,}06\cdot 10^{-4}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$b) Solubilidad en $\text{CaCl}_2$ 0,5 M.

El $\text{CaCl}_2$ es una sal soluble totalmente disociada: aporta $[\text{Ca}^{2+}] = 0{,}5\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$. Si ahora se disuelven $s'$ mol/L de $\text{CaF}_2$:$$K_{ps} = (0{,}5 + s')\,(2s')^2$$Como $s'$ será mucho menor que $0{,}5$, se toma $0{,}5 + s' \approx 0{,}5$:$$3{,}5\cdot 10^{-11} = 0{,}5 \cdot 4s'^2 \;\Rightarrow\; s' = \sqrt{\frac{3{,}5\cdot 10^{-11}}{2}} = \sqrt{1{,}75\cdot 10^{-11}} = 4{,}18\cdot 10^{-6}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$La aproximación es correcta: $4{,}18\cdot 10^{-6}$ es despreciable frente a $0{,}5$.

c) Por qué disminuye la solubilidad: efecto del ion común.$$\frac{s}{s'} = \frac{2{,}06\cdot 10^{-4}}{4{,}18\cdot 10^{-6}} \approx 49$$En la disolución de $\text{CaCl}_2$ el $\text{CaF}_2$ es unas 50 veces menos soluble. El ion $\text{Ca}^{2+}$ es común a las dos sales: al aumentar su concentración, el producto $[\text{Ca}^{2+}][\text{F}^-]^2$ supera $K_{ps}$ y, según el principio de Le Chatelier, el equilibrio de solubilidad se desplaza hacia la izquierda, hacia el $\text{CaF}_2$ sólido. Como $K_{ps}$ es constante (solo depende de la temperatura), con tanto $\text{Ca}^{2+}$ la cantidad de $\text{F}^-$ que puede haber en disolución, y por tanto la sal que se disuelve, es mucho menor.