Solubilidad y precipitación

a) ¿Precipita al mezclar?

Las dos sales se disocian por completo:$$\text{Pb(NO}_3)_2(s) \longrightarrow \text{Pb}^{2+}(aq) + 2\,\text{NO}_3^-(aq) \qquad \text{KI}(s) \longrightarrow \text{K}^+(aq) + \text{I}^-(aq)$$Moles de cada ion y concentraciones en el volumen total, $V = 10 + 20 = 30\ \text{mL} = 0{,}030\ \text{L}$:$$n(\text{Pb}^{2+}) = 0{,}022 \cdot 0{,}010 = 2{,}2 \cdot 10^{-4}\ \text{mol} \;\Rightarrow\; [\text{Pb}^{2+}] = \frac{2{,}2 \cdot 10^{-4}}{0{,}030} = 7{,}33 \cdot 10^{-3}\ \text{M}$$$$n(\text{I}^-) = 0{,}033 \cdot 0{,}020 = 6{,}6 \cdot 10^{-4}\ \text{mol} \;\Rightarrow\; [\text{I}^-] = \frac{6{,}6 \cdot 10^{-4}}{0{,}030} = 2{,}2 \cdot 10^{-2}\ \text{M}$$El equilibrio de solubilidad del yoduro de plomo(II) es:$$\text{PbI}_2(s) \rightleftharpoons \text{Pb}^{2+}(aq) + 2\,\text{I}^-(aq) \qquad K_{ps} = [\text{Pb}^{2+}][\text{I}^-]^2$$El producto iónico con las concentraciones de la mezcla:$$Q = [\text{Pb}^{2+}][\text{I}^-]^2 = 7{,}33 \cdot 10^{-3} \cdot (2{,}2 \cdot 10^{-2})^2 = 3{,}55 \cdot 10^{-6}$$Como $Q = 3{,}55 \cdot 10^{-6} > K_{ps} = 1{,}0 \cdot 10^{-8}$, la disolución está sobresaturada: sí se forma precipitado de $\text{PbI}_2$.

b) Masa máxima de KI sin que precipite

Ahora el KI sólido se añade a los 10 mL sin cambiar el volumen, así que $[\text{Pb}^{2+}] = 0{,}022\ \text{M}$. No precipita mientras $Q \le K_{ps}$; el límite es $Q = K_{ps}$:$$[\text{I}^-]_{\text{máx}} = \sqrt{\frac{K_{ps}}{[\text{Pb}^{2+}]}} = \sqrt{\frac{1{,}0 \cdot 10^{-8}}{0{,}022}} = 6{,}74 \cdot 10^{-4}\ \text{M}$$Moles de $\text{I}^-$ (que son los de KI) en 10 mL:$$n(\text{KI}) = 6{,}74 \cdot 10^{-4}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1} \cdot 0{,}010\ \text{L} = 6{,}74 \cdot 10^{-6}\ \text{mol}$$Con $M(\text{KI}) = 39{,}10 + 126{,}90 = 166{,}00\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$:$$m(\text{KI}) = 6{,}74 \cdot 10^{-6} \cdot 166{,}00 = 1{,}12 \cdot 10^{-3}\ \text{g}$$Se pueden añadir como mucho 1,12 mg de KI: cualquier cantidad mayor hace precipitar el $\text{PbI}_2$.