Solubilidad y precipitación

a) Producto de solubilidad

Masa molar: $M(\text{Mn(OH)}_2) = 54{,}94 + 2\,(16{,}00 + 1{,}01) = 88{,}96\ \text{g/mol}$.$$s = \frac{1{,}96\cdot 10^{-3}\ \text{g/L}}{88{,}96\ \text{g/mol}} = 2{,}20\cdot 10^{-5}\ \text{mol/L}$$Equilibrio de solubilidad:$$\text{Mn(OH)}_2(s) \rightleftharpoons \text{Mn}^{2+}(aq) + 2\,\text{OH}^-(aq)$$$$[\text{Mn}^{2+}] = s \qquad [\text{OH}^-] = 2s$$$$K_s = [\text{Mn}^{2+}]\,[\text{OH}^-]^2 = s\,(2s)^2 = 4s^3 = 4\,(2{,}20\cdot 10^{-5})^3 = 4{,}28\cdot 10^{-14}$$b) pH de la disolución saturada$$[\text{OH}^-] = 2s = 4{,}41\cdot 10^{-5}\ \text{M}$$$$\text{pOH} = -\log\,(4{,}41\cdot 10^{-5}) = 4{,}36 \qquad \text{pH} = 14 - 4{,}36 = 9{,}64$$La disolución es básica, como corresponde a un hidróxido, aunque poco porque es muy poco soluble. (Los $\text{OH}^-$ del agua, $10^{-7}\ \text{M}$, son despreciables frente a $4{,}4\cdot 10^{-5}\ \text{M}$.)

c) Solubilidad en $\text{NaOH}$ 0,1 M

El $\text{NaOH}$ es una base fuerte totalmente disociada: aporta $[\text{OH}^-] = 0{,}1\ \text{M}$. Llamando $s'$ a la nueva solubilidad:$$[\text{Mn}^{2+}] = s' \qquad [\text{OH}^-] = 0{,}1 + 2s' \approx 0{,}1\ \text{M}$$(la aproximación es válida porque $s'$ será mucho menor que la solubilidad en agua pura, ya muy pequeña).$$K_s = s'\,(0{,}1)^2 \;\Rightarrow\; s' = \frac{4{,}28\cdot 10^{-14}}{0{,}01} = 4{,}28\cdot 10^{-12}\ \text{mol/L}$$Comprobación: $2s' = 8{,}6\cdot 10^{-12} \ll 0{,}1$, así que la aproximación es correcta. En masa, $s' = 4{,}28\cdot 10^{-12}\cdot 88{,}96 = 3{,}81\cdot 10^{-10}\ \text{g/L}$.

La solubilidad baja unos cinco millones de veces ($2{,}20\cdot 10^{-5}/4{,}28\cdot 10^{-12} \approx 5\cdot 10^{6}$): es el efecto del ion común. Según el principio de Le Châtelier, el $\text{OH}^-$ añadido desplaza el equilibrio de solubilidad hacia la izquierda, hacia el sólido.