Solubilidad y precipitación

a) Producto de solubilidad

Masa molar: $M(\text{AgBrO}_3) = 107{,}87 + 79{,}90 + 3 \cdot 16{,}00 = 235{,}77\ \text{g/mol}$.$$s = \frac{1{,}75\ \text{g}}{235{,}77\ \text{g/mol} \cdot 0{,}250\ \text{L}} = 2{,}97\cdot 10^{-2}\ \text{mol/L}$$Equilibrio de solubilidad:$$\text{AgBrO}_3(s) \rightleftharpoons \text{Ag}^+(aq) + \text{BrO}_3^-(aq)$$con $[\text{Ag}^+] = [\text{BrO}_3^-] = s$:$$K_{ps} = [\text{Ag}^+][\text{BrO}_3^-] = s^2 = (2{,}97\cdot 10^{-2})^2 = 8{,}81\cdot 10^{-4}$$b) i) Se añaden 1,5 g de bromato de sodio

El bromato de sodio es soluble y se disocia totalmente:$$\text{NaBrO}_3(s) \longrightarrow \text{Na}^+(aq) + \text{BrO}_3^-(aq)$$Con $M(\text{NaBrO}_3) = 22{,}99 + 79{,}90 + 48{,}00 = 150{,}89\ \text{g/mol}$ y suponiendo que el volumen no cambia ($250\ \text{mL}$):$$[\text{BrO}_3^-]_{\text{añadido}} = \frac{1{,}5}{150{,}89 \cdot 0{,}250} = 3{,}98\cdot 10^{-2}\ \text{mol/L}$$Justo después de añadirlo, el producto iónico es:$$Q = [\text{Ag}^+][\text{BrO}_3^-] = 2{,}97\cdot 10^{-2} \cdot (2{,}97\cdot 10^{-2} + 3{,}98\cdot 10^{-2}) = 2{,}06\cdot 10^{-3}$$Como $Q > K_{ps}$ ($2{,}06\cdot 10^{-3} > 8{,}81\cdot 10^{-4}$), la disolución está sobresaturada y precipita bromato de plata: es el efecto del ion común, que desplaza el equilibrio hacia la izquierda (Le Chatelier).

¿Cuánto precipita? Si precipitan $y$ mol/L de $\text{AgBrO}_3$:$$(2{,}97\cdot 10^{-2} - y)(6{,}95\cdot 10^{-2} - y) = 8{,}81\cdot 10^{-4}$$La raíz válida (la otra es mayor que $[\text{Ag}^+]$ y daría concentraciones negativas) es $y = 1{,}38\cdot 10^{-2}\ \text{mol/L}$. En el nuevo equilibrio:$$[\text{Ag}^+] = 1{,}59\cdot 10^{-2}\ \text{M} \qquad [\text{BrO}_3^-] = 5{,}56\cdot 10^{-2}\ \text{M}$$$$m_{\text{precipitada}} = 1{,}38\cdot 10^{-2}\ \text{mol/L} \cdot 0{,}250\ \text{L} \cdot 235{,}77\ \text{g/mol} = 0{,}82\ \text{g de AgBrO}_3$$La solubilidad del bromato de plata baja de $2{,}97\cdot 10^{-2}$ a $1{,}59\cdot 10^{-2}\ \text{mol/L}$ (la que da $[\text{Ag}^+]$).

b) ii) Se añaden 1,5 g de bromato de plata sólido

La disolución ya está saturada: contiene la máxima cantidad de $\text{AgBrO}_3$ que admite a esa temperatura, y su producto iónico ya vale $K_{ps}$:$$Q = [\text{Ag}^+][\text{BrO}_3^-] = (2{,}97\cdot 10^{-2})^2 = 8{,}81\cdot 10^{-4} = K_{ps}$$Por tanto, los $1{,}5\ \text{g}$ añadidos no se disuelven: quedan como sólido en el fondo, en equilibrio con la disolución. Las concentraciones de $\text{Ag}^+$ y $\text{BrO}_3^-$ no cambian, porque en el equilibrio heterogéneo la cantidad de sólido no figura en la expresión de $K_{ps}$ (el equilibrio es dinámico: el sólido se disuelve y precipita a la misma velocidad).