Constante de equilibrio y grado de disociación

a) Grado de disociación

Masa molar del $\text{PCl}_5$: $M = 31 + 5\cdot 35{,}5 = 208{,}5\ \text{g/mol}$.$$n_0 = \frac{6\ \text{g}}{208{,}5\ \text{g/mol}} = 2{,}878\cdot 10^{-2}\ \text{mol}$$Tabla de moles:Moles totales en el equilibrio: $n_T = n_0(1-\alpha) + n_0\alpha + n_0\alpha = n_0(1+\alpha)$.

Con la presión total y $T = 250 + 273 = 523\ \text{K}$:$$n_T = \frac{P_T\,V}{R\,T} = \frac{2{,}078\ \text{atm}\cdot 1\ \text{L}}{0{,}082\ \text{atm}\cdot\text{L}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\cdot 523\ \text{K}} = 4{,}845\cdot 10^{-2}\ \text{mol}$$Igualando:$$n_0(1+\alpha) = n_T \;\Rightarrow\; 1 + \alpha = \frac{4{,}845\cdot 10^{-2}}{2{,}878\cdot 10^{-2}} = 1{,}684 \;\Rightarrow\; \alpha = 0{,}684$$Se disocia el 68,4 % del $\text{PCl}_5$.

b) Constante $K_p$

Fracciones molares en el equilibrio (el $n_0$ se simplifica):$$x_{\text{PCl}_5} = \frac{1-\alpha}{1+\alpha} = \frac{0{,}316}{1{,}684} = 0{,}188 \qquad x_{\text{PCl}_3} = x_{\text{Cl}_2} = \frac{\alpha}{1+\alpha} = \frac{0{,}684}{1{,}684} = 0{,}406$$Presiones parciales, $P_i = x_i\,P_T$:$$P_{\text{PCl}_5} = 0{,}188\cdot 2{,}078 = 0{,}390\ \text{atm} \qquad P_{\text{PCl}_3} = P_{\text{Cl}_2} = 0{,}406\cdot 2{,}078 = 0{,}844\ \text{atm}$$(Suman $0{,}390 + 2\cdot 0{,}844 = 2{,}078$ atm, como debe ser.)$$K_p = \frac{P_{\text{PCl}_3}\cdot P_{\text{Cl}_2}}{P_{\text{PCl}_5}} = \frac{0{,}844\cdot 0{,}844}{0{,}390} = 1{,}82$$Comprobación por otro camino: $K_c = \dfrac{(n_0\alpha)^2}{n_0(1-\alpha)\,V} = 4{,}25\cdot 10^{-2}$ y $K_p = K_c\,(RT)^{\Delta n} = 4{,}25\cdot 10^{-2}\cdot(0{,}082\cdot 523)^1 = 1{,}82$.

$K_p$ tiene unidades de presión (atm) porque $\Delta n = 1$; con la definición termodinámica (presiones relativas a 1 atm) es adimensional.