Solubilidad y precipitación

a) Equilibrio de solubilidad y $K_{ps}$.

Masa molar del sulfato de plata:$$M(\text{Ag}_2\text{SO}_4) = 2\cdot 107{,}9 + 32 + 4\cdot 16 = 311{,}8\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$$Solubilidad molar:$$s = \frac{8{,}11\cdot 10^{-2}\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}}{311{,}8\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}} = 2{,}60\cdot 10^{-4}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Equilibrio entre el sólido y sus iones en disolución:$$\text{Ag}_2\text{SO}_4(s) \rightleftharpoons 2\,\text{Ag}^+(aq) + \text{SO}_4^{2-}(aq)$$Por cada mol que se disuelve pasan $2s$ de $\text{Ag}^+$ y $s$ de $\text{SO}_4^{2-}$ (el sólido no aparece en la constante):$$K_{ps} = [\text{Ag}^+]^2\,[\text{SO}_4^{2-}] = (2s)^2\cdot s = 4s^3$$$$K_{ps} = 4\,(2{,}60\cdot 10^{-4})^3 = 7{,}04\cdot 10^{-11}$$b) Solubilidad en $\text{CaSO}_4$ $0{,}1\ \text{M}$ (efecto del ion común).

El $\text{CaSO}_4$ disuelto aporta $[\text{SO}_4^{2-}] = 0{,}1\ \text{M}$ antes de que se disuelva el sulfato de plata. Si ahora se disuelven $s'$ mol/L de $\text{Ag}_2\text{SO}_4$:$$K_{ps} = (2s')^2\,(0{,}1 + s') = 7{,}04\cdot 10^{-11}$$Como $s'$ será mucho menor que $2{,}6\cdot 10^{-4}$, se puede despreciar frente a $0{,}1$:$$4s'^2 \cdot 0{,}1 = 7{,}04\cdot 10^{-11} \;\Rightarrow\; s' = \sqrt{\frac{7{,}04\cdot 10^{-11}}{0{,}4}} = 1{,}33\cdot 10^{-5}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$La aproximación es buena: $1{,}33\cdot 10^{-5} \ll 0{,}1$. En gramos por litro:$$s' = 1{,}33\cdot 10^{-5}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot 311{,}8\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} = 4{,}14\cdot 10^{-3}\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}$$La solubilidad baja unas 20 veces respecto a la del agua pura ($8{,}11\cdot 10^{-2}\ \text{g/L}$): el ion común $\text{SO}_4^{2-}$ desplaza el equilibrio hacia la izquierda, hacia el sólido.

(Los datos del enunciado son de examen: el sulfato de plata real es bastante más soluble, y el propio $\text{CaSO}_4$ no llega a disolverse hasta $0{,}1\ \text{M}$. Se resuelve con los datos dados.)