Solubilidad y precipitación

a) Masa máxima de $\text{CaF}_2$ en $150\ \text{mL}$

Equilibrio de solubilidad, con $s$ la solubilidad molar:$$\text{CaF}_2(s) \rightleftharpoons \text{Ca}^{2+}(aq) + 2\,\text{F}^-(aq)$$$$K_s = [\text{Ca}^{2+}][\text{F}^-]^2 = s\,(2s)^2 = 4s^3$$$$s = \sqrt[3]{\frac{K_s}{4}} = \sqrt[3]{\frac{2{,}7\cdot 10^{-8}}{4}} = \sqrt[3]{6{,}75\cdot 10^{-9}} = 1{,}89\cdot 10^{-3}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Moles disueltos en $150\ \text{mL}$ y su masa ($M(\text{CaF}_2) = 40{,}08 + 2\cdot 19{,}00 = 78{,}08\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$):$$n = 1{,}89\cdot 10^{-3}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot 0{,}150\ \text{L} = 2{,}83\cdot 10^{-4}\ \text{mol}$$$$m = 2{,}83\cdot 10^{-4}\ \text{mol}\cdot 78{,}08\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} = 2{,}21\cdot 10^{-2}\ \text{g}$$Es decir, como mucho caben $22\ \text{mg}$ de $\text{CaF}_2$ disueltos (una solubilidad de $0{,}148\ \text{g/L}$).

b) $[\text{Ca}^{2+}]$ tras añadir $\text{NaF}$ hasta $0{,}2\ \text{M}$

El $\text{NaF}$ es una sal soluble que se disocia por completo:$$\text{NaF}(s) \longrightarrow \text{Na}^+(aq) + \text{F}^-(aq)$$Al aumentar $[\text{F}^-]$, el producto iónico supera a $K_s$ y precipita $\text{CaF}_2$ hasta que se vuelve a cumplir el equilibrio (efecto del ion común). Llamando $s'$ a la nueva solubilidad:$$[\text{Ca}^{2+}] = s' \qquad [\text{F}^-] = 0{,}2 + 2s' \approx 0{,}2\ \text{M}$$Aproximación: sin $\text{NaF}$, el $\text{CaF}_2$ solo aportaba $2s = 3{,}8\cdot 10^{-3}\ \text{M}$ de fluoruro, y con el ion común aportará todavía menos; frente a $0{,}2\ \text{M}$ es despreciable. Entonces:$$K_s = s'\,(0{,}2)^2 \;\Rightarrow\; s' = \frac{2{,}7\cdot 10^{-8}}{0{,}04} = 6{,}75\cdot 10^{-7}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Comprobación: $2s' = 1{,}35\cdot 10^{-6}\ \text{M} \ll 0{,}2\ \text{M}$ (menos de un 0,001 %): la aproximación es válida.$$[\text{Ca}^{2+}] = 6{,}75\cdot 10^{-7}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$La concentración de calcio en disolución baja unas $2800$ veces respecto a la disolución saturada en agua pura ($1{,}89\cdot 10^{-3}\ \text{M}$).