Constante de equilibrio y grado de disociación

a) Concentraciones en el equilibrio.

Concentración inicial de $\text{N}_2\text{O}_4$:$$[\text{N}_2\text{O}_4]_0 = \frac{1{,}6\ \text{mol}}{2\ \text{L}} = 0{,}8\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}$$$$K_c = \frac{[\text{NO}_2]^2}{[\text{N}_2\text{O}_4]} = \frac{(2x)^2}{0{,}8 - x} = 4{,}63\cdot 10^{-3}$$$$4x^2 + 4{,}63\cdot 10^{-3}\,x - 3{,}704\cdot 10^{-3} = 0$$$$x = \frac{-4{,}63\cdot 10^{-3} + \sqrt{(4{,}63\cdot 10^{-3})^2 + 16\cdot 3{,}704\cdot 10^{-3}}}{8} = 0{,}0299\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}$$(la otra raíz es negativa y no tiene sentido químico). Por tanto:$$[\text{N}_2\text{O}_4] = 0{,}8 - 0{,}0299 = 0{,}770\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}\qquad [\text{NO}_2] = 2\cdot 0{,}0299 = 0{,}0597\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}$$Comprobación: $\dfrac{0{,}0597^2}{0{,}770} = 4{,}63\cdot 10^{-3}$. Como $K_c$ es pequeña, el $\text{N}_2\text{O}_4$ apenas se disocia (un 3,7 %).

b) $K_p$ y presión total.

Con $T = 25 + 273 = 298\ \text{K}$, $R = 0{,}082\ \text{atm}\,\text{L}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}$ y $\Delta n = 2 - 1 = 1$:$$K_p = K_c\,(RT)^{\Delta n} = 4{,}63\cdot 10^{-3}\cdot (0{,}082\cdot 298)^1 = 4{,}63\cdot 10^{-3}\cdot 24{,}44 = 0{,}113$$Concentración total de gas en el equilibrio:$$c_{\text{total}} = (0{,}8 - x) + 2x = 0{,}8 + x = 0{,}8299\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}$$$$P_{\text{total}} = c_{\text{total}}\,R\,T = 0{,}8299\cdot 0{,}082\cdot 298 = 20{,}3\ \text{atm}$$(Equivale a sumar las presiones parciales: $p_{\text{N}_2\text{O}_4} = 0{,}770\cdot 24{,}44 = 18{,}8\ \text{atm}$ y $p_{\text{NO}_2} = 0{,}0597\cdot 24{,}44 = 1{,}46\ \text{atm}$; y $1{,}46^2/18{,}8 = 0{,}113 = K_p$.)

c) Reducción del volumen y catalizador.

Reducción del volumen a temperatura constante. Al comprimir, en el primer instante las dos concentraciones aumentan en la misma proporción y el cociente de reacción $Q = [\text{NO}_2]^2/[\text{N}_2\text{O}_4]$ se hace mayor que $K_c$ (el numerador va al cuadrado). Según Le Chatelier, el sistema compensa el aumento de presión desplazándose hacia donde hay menos moles de gas: hacia la izquierda, hacia el $\text{N}_2\text{O}_4$ (1 mol de gas frente a 2). Se forma $\text{N}_2\text{O}_4$ a costa de $\text{NO}_2$: aumenta la cantidad de $\text{N}_2\text{O}_4$ y disminuye la de $\text{NO}_2$. En concentración, las dos acaban siendo mayores que antes (el volumen es menor), pero la de $\text{NO}_2$ crece en menor proporción. Por ejemplo, si el volumen pasara a $1\ \text{L}$, quedaría $[\text{N}_2\text{O}_4] = 1{,}558\ \text{M}$ y $[\text{NO}_2] = 0{,}0849\ \text{M}$ (sin desplazamiento habría sido $0{,}119\ \text{M}$). $K_c$ no cambia, porque no cambia la temperatura.

Adición de un catalizador. No afecta a las concentraciones de equilibrio: el catalizador disminuye por igual la energía de activación de la reacción directa y de la inversa, de modo que solo hace que el equilibrio se alcance antes, sin desplazarlo ni cambiar $K_c$.