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Estructura atómica y números cuánticos

Extremadura · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Dados los siguientes conjuntos de números cuánticos:

(2, 1, 2, +1/2)

;

(3, 1, -1, +1/2)

;

(2, 2, 1, -1/2)

(3, 2, -2, +1/2)

:

a) (1 punto) Expresar el significado de los cuatro números cuánticos;

b) (1 punto) Razonar cuáles son permitidos y cuáles no.

c) (0,5 puntos) Explicar cuál de los permitidos se corresponde con un electrón en un orbital d.

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Resultado

a) $n$ : nivel y tamaño; $\ell$ : subnivel y forma; $m_\ell$ : orientación; $m_s$ : espín.
b) Permitidas: $(3, 1, -1, +\tfrac12)$ y $(3, 2, -2, +\tfrac12)$ . No permitidas: $(2, 1, 2, +\tfrac12)$ , porque $|m_\ell| > \ell$ , y $(2, 2, 1, -\tfrac12)$ , porque $\ell = n$ .
c) $(3, 2, -2, +\tfrac12)$ : $\ell = 2$ , orbital $3d$ .

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Estrategia

Cada conjunto se escribe en el orden

(n, \ell, m_\ell, m_s)

. Los valores que puede tomar cada número dependen del anterior:

n = 1, 2, 3\ldots\qquad \ell = 0, 1, \ldots, n-1\qquad m_\ell = -\ell, \ldots, 0, \ldots, +\ell\qquad m_s = \pm\tfrac{1}{2}

Se comprueban de izquierda a derecha y, en cuanto uno falla, la combinación no es posible. El tipo de orbital lo da

\ell

(

0 = s

1 = p

2 = d

3 = f

Desarrollo

a) Significado de los números cuánticos

Número cuántico principal, $n$ ( $1, 2, 3\ldots$ ): indica el nivel de energía (la capa) y el tamaño del orbital. Cuanto mayor es $n$ , más lejos del núcleo está el electrón por término medio y mayor es su energía.
Número cuántico secundario o azimutal, $\ell$ ( $0, 1, \ldots, n-1$ ): indica el subnivel y la forma del orbital: $\ell = 0$ es un orbital $s$ (esférico), $\ell = 1$ un $p$ (bilobulado), $\ell = 2$ un $d$ y $\ell = 3$ un $f$ .
Número cuántico magnético, $m_\ell$ ( $-\ell, \ldots, 0, \ldots, +\ell$ ): indica la orientación del orbital en el espacio. Hay $2\ell + 1$ valores, es decir, $2\ell + 1$ orbitales de cada tipo en un subnivel (1 $s$ , 3 $p$ , 5 $d$ , 7 $f$ ).
Número cuántico de espín, $m_s$ ( $+\tfrac{1}{2}$ o $-\tfrac{1}{2}$ ): indica el sentido de giro del electrón sobre sí mismo. Por eso en cada orbital caben como máximo dos electrones, con espines opuestos (principio de exclusión de Pauli).

Los tres primeros definen un orbital; los cuatro juntos, un electrón concreto.

b) Combinaciones permitidas

$(2, 1, 2, +\tfrac12)$ : con $n = 2$ , $\ell = 1$ es válido; pero con $\ell = 1$ , $m_\ell$ solo puede valer $-1, 0, +1$ . Como $m_\ell = 2 > \ell$ , no está permitida.
$(3, 1, -1, +\tfrac12)$ : $\ell = 1 \le n - 1 = 2$ , $m_\ell = -1$ está entre $-1$ y $+1$ y $m_s = +\tfrac12$ . Permitida (un electrón $3p$ ).
$(2, 2, 1, -\tfrac12)$ : con $n = 2$ , $\ell$ solo puede valer $0$ o $1$ . Como $\ell = 2 = n$ , no está permitida (no existen orbitales $2d$ ).
$(3, 2, -2, +\tfrac12)$ : $\ell = 2 \le n - 1 = 2$ , $m_\ell = -2$ está entre $-2$ y $+2$ y $m_s = +\tfrac12$ . Permitida (un electrón $3d$ ).

c) Electrón en un orbital d

Un orbital

d

es el que tiene

\ell = 2

. De las dos combinaciones permitidas,

(3, 1, -1, +\tfrac12)

tiene

\ell = 1

(orbital

3p

) y

(3, 2, -2, +\tfrac12)

tiene

\ell = 2

.

Por tanto, el electrón en un orbital

d

es el de

(3, 2, -2, +\tfrac12)

: está en un orbital $3d$ (nivel

n = 3

, el primero que tiene subnivel

d

), en la orientación

m_\ell = -2

y con espín

+\tfrac12

Consejo

Comprueba las condiciones en orden y di cuál falla: no basta con «no es posible». Las dos trampas habituales son las de este ejercicio: $\ell$ igual a $n$ (no hay orbitales $2d$ ni $1p$ ) y $m_\ell$ mayor que $\ell$ en valor absoluto.

Para el tipo de orbital, mira solo $\ell$ , no $n$ : el $(3, 1, -1, +\tfrac12)$ es del nivel 3, pero es un electrón $p$ .