Solubilidad y precipitación

Masa molar: $M(\text{Ag}_2\text{CO}_3) = 2\cdot 108 + 12 + 3\cdot 16 = 276\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$.

a) Solubilidad en agua pura$$\text{Ag}_2\text{CO}_3(s) \rightleftharpoons 2\,\text{Ag}^+(aq) + \text{CO}_3^{2-}(aq)$$$$K_{PS} = [\text{Ag}^+]^2\,[\text{CO}_3^{2-}] = (2s)^2\,s = 4s^3$$$$s = \sqrt[3]{\frac{K_{PS}}{4}} = \sqrt[3]{\frac{4{,}8\cdot 10^{-12}}{4}} = \sqrt[3]{1{,}2\cdot 10^{-12}} = 1{,}06\cdot 10^{-4}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$En gramos por litro:$$s = 1{,}06\cdot 10^{-4}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot 276\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} = 2{,}93\cdot 10^{-2}\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}$$

b) Solubilidad en $\text{K}_2\text{CO}_3$ $0{,}2\ \text{M}$

El carbonato de potasio es una sal soluble que se disocia por completo:$$\text{K}_2\text{CO}_3(s) \longrightarrow 2\,\text{K}^+(aq) + \text{CO}_3^{2-}(aq)\qquad [\text{CO}_3^{2-}]_0 = 0{,}2\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Si ahora se disuelven $s'$ mol/L de $\text{Ag}_2\text{CO}_3$:$$[\text{Ag}^+] = 2s'\qquad [\text{CO}_3^{2-}] = 0{,}2 + s' \approx 0{,}2$$(la aproximación es válida porque $s'$ será mucho menor que la solubilidad en agua, que ya es $10^{-4}$, y por tanto despreciable frente a $0{,}2$).$$K_{PS} = (2s')^2\cdot 0{,}2 = 0{,}8\,s'^2 \;\Rightarrow\; s' = \sqrt{\frac{4{,}8\cdot 10^{-12}}{0{,}8}} = \sqrt{6\cdot 10^{-12}} = 2{,}45\cdot 10^{-6}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$$Comprobación: $2{,}45\cdot 10^{-6} \ll 0{,}2$, así que la aproximación es correcta.$$s' = 2{,}45\cdot 10^{-6}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot 276\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} = 6{,}76\cdot 10^{-4}\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}$$La solubilidad baja unas 43 veces: es el efecto del ion común. Al añadir $\text{CO}_3^{2-}$, el equilibrio de disolución se desplaza hacia la izquierda (Le Chatelier) y se disuelve menos sal.