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Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio (solapamiento)

Enunciado

Un comedero para animales tiene forma de semicilindro hueco abierto por la parte superior. Está construido con chapa metálica delgada. Los extremos semicirculares tienen radio

r

medido en cm y la longitud del comedero es de

L

cm. El área total del semicilindro (incluyendo el área lateral curva y el área de las paredes semicirculares) es de

600\pi\ \text{cm}^2

Comedero en forma de medio cilindro tumbado y abierto por arriba, con las dos tapas semicirculares en los extremos; una flecha marca el radio r de la tapa y otra, a lo largo, la longitud L

Se pide:

a) Encontrar la función que describe el volumen del comedero en función del radio

r

. (1 punto)

b) Encontrar el radio

r

y la longitud

L

que maximizan el volumen del comedero y calcular dicho volumen. (1.5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

V(r) = \dfrac{\pi r(600 - r^2)}{2} = 300\pi r - \dfrac{\pi}{2}r^3

, con

0 < r < 10\sqrt 6

cm.

b)

r = 10\sqrt 2 \approx 14{,}14

cm y

L = 20\sqrt 2 \approx 28{,}28

cm;

V_{\max} = 2000\sqrt 2\,\pi \approx 8885{,}77\ \text{cm}^3

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de optimización con una ligadura: la chapa disponible es fija.

Volumen: medio cilindro, $V = \frac{1}{2}\pi r^2 L$ . Depende de dos variables.
Ligadura: la chapa es la mitad de la superficie lateral de un cilindro ( $\pi r L$ ) más las dos tapas semicirculares, que juntas forman un círculo ( $\pi r^2$ ). Igualándola a $600\pi$ despejamos $L$ en función de $r$ y la llevamos al volumen: eso es a).
En b), derivamos $V(r)$ , la igualamos a cero y comprobamos que el punto es un máximo dentro del dominio.

Desarrollo

a) Área de chapa. La parte curva es media superficie lateral de un cilindro de radio

r

y longitud

L

\frac{1}{2}\cdot 2\pi r L = \pi r L

. Las dos paredes semicirculares suman un círculo:

2\cdot\frac{1}{2}\pi r^2 = \pi r^2

. Así:

\pi r L + \pi r^2 = 600\pi \;\Rightarrow\; rL + r^2 = 600 \;\Rightarrow\; L = \frac{600 - r^2}{r}

Volumen. Medio cilindro:

V = \frac{1}{2}\pi r^2 L = \frac{1}{2}\pi r^2\cdot\frac{600 - r^2}{r} = \frac{\pi r\,(600 - r^2)}{2}

V(r) = 300\pi r - \frac{\pi}{2}r^3

Dominio. Tiene que ser

r > 0

L > 0

, es decir,

r^2 < 600

0 < r < \sqrt{600} = 10\sqrt 6 \approx 24{,}49

cm.

b) Derivada.

V'(r) = 300\pi - \frac{3\pi}{2}r^2

Punto crítico.

V'(r) = 0 \iff \frac{3}{2}r^2 = 300 \iff r^2 = 200 \iff r = \sqrt{200} = 10\sqrt 2 \approx 14{,}142\ \text{cm}

(la raíz negativa no está en el dominio).

¿Es un máximo?

V''(r) = -3\pi r < 0

para todo

r > 0

; en particular,

V''(10\sqrt 2) < 0

: es un máximo. Además

V'

es positiva antes y negativa después, así que es el máximo absoluto en el dominio.

Longitud.

L = \frac{600 - 200}{10\sqrt 2} = \frac{400}{10\sqrt 2} = \frac{40}{\sqrt 2} = 20\sqrt 2 \approx 28{,}284\ \text{cm}

Volumen máximo.

V(10\sqrt 2) = \frac{\pi\cdot 10\sqrt 2\,(600 - 200)}{2} = 2000\sqrt 2\,\pi \approx 8885{,}77\ \text{cm}^3

Curiosamente, en el óptimo la longitud es el doble del radio:

L = 2r

, igual al diámetro de las tapas.

Consejo

El error más frecuente está en la chapa: la parte curva es la mitad de la lateral del cilindro ( $\pi r L$ , no $2\pi r L$ ) y las dos tapas semicirculares suman un solo círculo. Y no hay tapa arriba: está abierto.

En b), justifica que es un máximo (con la segunda derivada o con el signo de $V'$ ) y da las tres cosas que se piden: $r$ , $L$ y el volumen, con sus unidades.

Paso 1 de 3

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