Optimización

Variables. $x$ = anchura de la ventana (en metros), $y$ = altura de la parte rectangular. El semicírculo tiene radio $r = \dfrac{x}{2}$.

Función a maximizar. El área es la del rectángulo más la mitad de la de un círculo de radio $x/2$:$$f(x,y) = x\,y + \frac{1}{2}\,\pi\left(\frac{x}{2}\right)^2 = x\,y + \frac{\pi x^2}{8}$$Ligadura (perímetro). Base $x$, dos lados de altura $y$ y media circunferencia de radio $x/2$, cuya longitud es $\frac{1}{2}\cdot 2\pi\cdot\frac{x}{2} = \frac{\pi x}{2}$:$$x + 2y + \frac{\pi x}{2} = 8 \;\Longrightarrow\; y = 4 - \frac{x}{2} - \frac{\pi x}{4} = 4 - \frac{(2+\pi)\,x}{4}$$Para que tenga sentido, $x > 0$ e $y > 0$, es decir, $0 < x < \dfrac{16}{2+\pi} \approx 3{,}11$.

Función de una variable. Sustituyendo $y$ en $f$:$$f(x) = x\left(4 - \frac{x}{2} - \frac{\pi x}{4}\right) + \frac{\pi x^2}{8} = 4x - \frac{x^2}{2} - \frac{\pi x^2}{4} + \frac{\pi x^2}{8} = 4x - \frac{(4+\pi)\,x^2}{8}$$Puntos críticos.$$f'(x) = 4 - \frac{(4+\pi)\,x}{4} = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{16}{4+\pi} \approx 2{,}2404\ \text{m}$$que está dentro del intervalo $\left(0, \frac{16}{2+\pi}\right)$.

¿Es un máximo? La derivada segunda es constante y negativa:$$f''(x) = -\frac{4+\pi}{4} < 0$$así que en $x = \frac{16}{4+\pi}$ hay un máximo relativo; y como $f$ es una parábola hacia abajo, es el máximo absoluto en todo el intervalo. (Lo mismo se ve con el signo de $f'$: positiva a la izquierda, negativa a la derecha.)

La otra dimensión.$$y = 4 - \frac{2+\pi}{4}\cdot\frac{16}{4+\pi} = \frac{4(4+\pi) - 4(2+\pi)}{4+\pi} = \frac{8}{4+\pi} \approx 1{,}1202\ \text{m}$$Curiosidad: la altura del rectángulo coincide con el radio del semicírculo, $y = \frac{x}{2}$, y la ventana entera mide tanto de alto ($y + \frac{x}{2} = \frac{16}{4+\pi}$) como de ancho.

Comprobación. Perímetro: $\frac{16}{4+\pi} + \frac{16}{4+\pi} + \frac{\pi}{2}\cdot\frac{16}{4+\pi} = \frac{32 + 8\pi}{4+\pi} = 8$ ✓. Área máxima: $f\!\left(\frac{16}{4+\pi}\right) = \frac{32}{4+\pi} \approx 4{,}48\ \text{m}^2$.