Optimización

Ligadura. Sean $x$ e $y$ los catetos, en metros. Por el teorema de Pitágoras,$$x^{2} + y^{2} = 20^{2} = 400 \;\Longrightarrow\; y = \sqrt{400 - x^{2}} \qquad (y > 0)$$Función a maximizar. El área del triángulo rectángulo es la mitad del producto de los catetos:$$A(x, y) = \frac{x\,y}{2}$$Sustituyendo $y$:$$A(x) = \frac{x\sqrt{400 - x^{2}}}{2}, \qquad x \in (0,\ 20)$$(un cateto tiene que ser positivo y menor que la hipotenusa).

Derivada. Por la regla del producto y la de la cadena:$$A'(x) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{400 - x^{2}} + x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{400 - x^{2}}}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{400 - x^{2} - x^{2}}{\sqrt{400 - x^{2}}} = \frac{200 - x^{2}}{\sqrt{400 - x^{2}}}$$Punto crítico.$$A'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; 200 - x^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14 \ \text{m}$$(la solución negativa $-10\sqrt{2}$ no está en el dominio).

Es un máximo. El denominador de $A'$ es positivo en $(0, 20)$, así que el signo de $A'$ es el de $200 - x^{2}$:$$\begin{array}{c|c|c} x & (0,\ 10\sqrt{2}) & (10\sqrt{2},\ 20) \\ \hline A'(x) & + & - \\ \hline A(x) & \text{creciente} & \text{decreciente} \end{array}$$$A$ crece y luego decrece: en $x = 10\sqrt{2}$ alcanza su máximo absoluto en el intervalo.

El otro cateto y el área.$$y = \sqrt{400 - 200} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \ \text{m}$$$$A_{\max} = \frac{10\sqrt{2}\cdot 10\sqrt{2}}{2} = \frac{200}{2} = 100 \ \text{m}^{2}$$Los dos catetos son iguales: de todos los triángulos rectángulos con la misma hipotenusa, el de mayor área es el isósceles.

Comprobación. $(10\sqrt{2})^{2} + (10\sqrt{2})^{2} = 200 + 200 = 400 = 20^{2}$ ✓. Y, por ejemplo, con catetos $12$ y $16$ (también cumplen $144 + 256 = 400$) el área es $96 < 100$ ✓.