Optimización

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Esta pauta no reparte la puntuación por pasos: cada apartado vale lo que indica el enunciado.

a) Para saber la expresión del volumen, necesitamos primero las dimensiones de la caja. Observando el esquema del enunciado vemos que la base de la caja será un rectángulo de largo $\dfrac{80 - 2x}{2}$, es decir, de $40 - x$, y de ancho $50 - 2x$. Como la caja nos quedará de altura $x$, su volumen expresado en centímetros cúbicos será$$V(x) = (40 - x)\cdot(50 - 2x)\cdot x = 2x^3 - 130x^2 + 2000x,$$tal como indica el enunciado.

b) Para optimizar el volumen, calculamos los extremos relativos de esta función, igualando su derivada a cero:$$V'(x) = 6x^2 - 260x + 2000 = 0,$$$$x = \frac{260 \pm \sqrt{67\,600 - 48\,000}}{12} = \frac{260 \pm 140}{12} = 10,\ \frac{100}{3}.$$Calculamos la segunda derivada para determinar el máximo: $V''(x) = 12x - 260$. Como $V''(10) < 0$ y $V''\!\left(\dfrac{100}{3}\right) > 0$, el máximo se encuentra en $x = 10\ \text{cm}$. Esto corresponde a una caja de $40 - 10 = 30\ \text{cm}$ de largo, por $50 - 20 = 30\ \text{cm}$ de ancho y $10\ \text{cm}$ de altura, y que tiene volumen $V(10) = 30\cdot 30\cdot 10 = 9\,000\ \text{cm}^3$.