Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2026 · Reserva 4
Enunciado
Ejercicio 1 (parte obligatoria). Un jardinero quiere vallar un campo rectangular que tiene un lado junto a un camino. La valla del lado del camino cuesta 8080 euros por metro y el precio de la valla de los tres lados restantes es de 1010 euros por metro. Halla las dimensiones del campo de mayor área que puede cercarse con 2880028800 euros. ¿Qué área tiene el campo?
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Resultado
  Lado junto al camino (y su opuesto): 160 m;los otros dos: 720 m  \boxed{\;\text{Lado junto al camino (y su opuesto): } 160 \text{ m}; \quad \text{los otros dos: } 720 \text{ m}\;}  Amax⁡=115200 m2  \boxed{\;A_{\max} = 115200 \text{ m}^{2}\;}
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Estrategia

Es un problema de optimización clásico con una condición de presupuesto. Llamamos xx al lado que da al camino (y a su opuesto, que mide lo mismo) e yy a los otros dos lados.
  1. La función que hay que maximizar es el área, A=x yA = x\,y, que depende de dos variables.
  2. El dinero disponible (2880028800 euros) da la relación entre xx e yy: con ella despejamos yy y el área queda en función de una sola variable.
  3. Derivamos, igualamos a cero y comprobamos con la derivada segunda que es un máximo.
Ojo con el reparto de precios: solo un lado (el del camino) cuesta 8080 euros por metro; el lado paralelo a él, aunque mida lo mismo, cuesta 1010.
2

Desarrollo

Variables. Sea xx (en metros) la longitud del lado junto al camino e yy la de los lados perpendiculares al camino. El campo tiene:
  • un lado de longitud xx junto al camino, a 8080 euros/m;
  • el lado opuesto, también de longitud xx, a 1010 euros/m;
  • dos lados de longitud yy, a 1010 euros/m.
Condición (coste total).80x+10x+10y+10y=28800  ⟹  90x+20y=28800  ⟹  y=28800−90x20=1440−92x80x + 10x + 10y + 10y = 28800 \;\Longrightarrow\; 90x + 20y = 28800 \;\Longrightarrow\; y = \frac{28800 - 90x}{20} = 1440 - \frac{9}{2}xPara que las dos longitudes sean positivas hace falta 0<x<3200 < x < 320.

Función a maximizar.A(x)=x y=x(1440−92x)=1440x−92x2,x∈(0,320)A(x) = x\,y = x\left(1440 - \frac{9}{2}x\right) = 1440x - \frac{9}{2}x^{2}, \qquad x \in (0, 320)Puntos críticos.A′(x)=1440−9x=0  ⟹  x=160A'(x) = 1440 - 9x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 160Es un máximo. A′′(x)=−9<0A''(x) = -9 < 0 para todo xx, así que en x=160x = 160 hay un máximo relativo; como es el único punto crítico de una parábola que se abre hacia abajo, es el máximo absoluto en (0,320)(0, 320). (También: A′>0A' > 0 para x<160x < 160 y A′<0A' < 0 para x>160x > 160.)

Dimensiones y área.y=1440−92⋅160=1440−720=720 my = 1440 - \frac{9}{2}\cdot 160 = 1440 - 720 = 720 \text{ m}A(160)=160⋅720=115200 m2A(160) = 160 \cdot 720 = 115200 \text{ m}^{2}Comprobación del presupuesto: 80⋅160+10⋅160+2⋅10⋅720=12800+1600+14400=2880080\cdot 160 + 10\cdot 160 + 2\cdot 10\cdot 720 = 12800 + 1600 + 14400 = 28800 euros, justo el presupuesto.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

El error más frecuente es poner los cuatro lados al mismo precio o cobrar 8080 euros por los dos lados de longitud xx. Haz un dibujo y escribe el precio al lado de cada tramo antes de plantear la ecuación del coste.

No te quedes en A′(x)=0A'(x) = 0: la corrección pide justificar que es un máximo (con la derivada segunda o con el signo de A′A') y responder a las dos preguntas, dimensiones y área, con sus unidades.
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