Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio (solapamiento)

Quitar el valor absoluto. $2x^2 - 3 = 0 \iff x = \pm\sqrt{\tfrac{3}{2}} = \pm\dfrac{\sqrt 6}{2}$. En $[-1, 5]$ solo está $x_0 = \sqrt{3/2} \approx 1{,}2247$ (la otra raíz, $-1{,}2247$, queda a la izquierda de $-1$). Entonces:$$f(x) = \begin{cases} 3 - 2x^2 & \text{si } -1 \le x \le \sqrt{3/2} \\ 2x^2 - 3 & \text{si } \sqrt{3/2} < x \le 5 \end{cases}$$a) Derivada en cada trozo.$$f'(x) = \begin{cases} -4x & \text{si } -1 < x < \sqrt{3/2} \\ 4x & \text{si } \sqrt{3/2} < x < 5 \end{cases}$$En $x_0 = \sqrt{3/2}$ las derivadas laterales son $-4\sqrt{3/2}$ y $4\sqrt{3/2}$: distintas, así que ahí $f$ no es derivable (hay un pico).

Signo de $f'$.

• En $(-1, 0)$: $-4x > 0$, crece.
• En $\left(0, \sqrt{3/2}\right)$: $-4x < 0$, decrece.
• En $\left(\sqrt{3/2}, 5\right)$: $4x > 0$, crece.

b) Candidatos. $f$ es continua en $[-1, 5]$ (composición de continuas), así que por Weierstrass alcanza máximo y mínimo absolutos. Se comparan los extremos del intervalo, el punto crítico $x = 0$ y el pico $x_0$:$$f(-1) = |2 - 3| = 1,\qquad f(0) = 3,\qquad f\!\left(\sqrt{3/2}\right) = 0,\qquad f(5) = |50 - 3| = 47$$Máximo absoluto $47$, en $x = 5$: punto $(5, 47)$. Mínimo absoluto $0$, en $x = \sqrt{3/2}$: punto $\left(\sqrt{3/2}, 0\right)$. (En $(0, 3)$ hay un máximo relativo, que no es absoluto.)

c) Gráfica. Desde $(-1, 1)$ la curva sube como una parábola invertida hasta $(0, 3)$, baja hasta tocar el eje en $\left(\sqrt{3/2}, 0\right)$, donde rebota en pico, y sube cada vez más deprisa hasta $(5, 47)$.

d) Planteamiento. $f \ge 0$ en todo el intervalo, así que el área es $\int_{-1}^{5} f(x)\,dx$, partida en $\sqrt{3/2}$:$$A = \int_{-1}^{\sqrt{3/2}} (3 - 2x^2)\,dx + \int_{\sqrt{3/2}}^{5} (2x^2 - 3)\,dx$$Un valor útil. Con $s = \sqrt{3/2}$, $s^3 = \tfrac{3}{2}s$, y $s = \frac{\sqrt 6}{2}$.

Primer tramo.$$\int_{-1}^{s} (3 - 2x^2)\,dx = \left[3x - \frac{2x^3}{3}\right]_{-1}^{s} = \left(3s - s\right) - \left(-3 + \frac{2}{3}\right) = 2s + \frac{7}{3} = \sqrt 6 + \frac{7}{3}$$Segundo tramo.$$\int_{s}^{5} (2x^2 - 3)\,dx = \left[\frac{2x^3}{3} - 3x\right]_{s}^{5} = \left(\frac{250}{3} - 15\right) - \left(s - 3s\right) = \frac{205}{3} + 2s = \frac{205}{3} + \sqrt 6$$Área total.$$A = \frac{7}{3} + \sqrt 6 + \frac{205}{3} + \sqrt 6 = \frac{212}{3} + 2\sqrt 6 \approx 75{,}566\ \text{u}^2$$