Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2026 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 3.1 (bloque con optatividad 1). Se sabe que la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = \begin{cases} 2\,|x^{2} - 1| & \text{si } x \leq \dfrac{1}{2} \\[2mm] ax^{2} + bx & \text{si } x > \dfrac{1}{2} \end{cases}

es derivable en

x = \frac{1}{2}

. Determina

a

b

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;a = -10, \qquad b = 8\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay dos incógnitas, así que necesitamos dos ecuaciones, y las dos salen de la derivabilidad en

x = \frac{1}{2}

Una función derivable en un punto es continua en él: los límites laterales tienen que coincidir con $f\!\left(\frac{1}{2}\right)$ .
Las derivadas laterales tienen que ser iguales.

Antes hay que quitar el valor absoluto, pero solo cerca de

x = \frac{1}{2}

, que es donde trabajamos: para

-1 < x < 1

se tiene

x^{2} < 1

, así que

x^{2} - 1 < 0

|x^{2}-1| = 1 - x^{2}

Desarrollo

Quitar el valor absoluto. Para

-1 < x \leq \frac{1}{2}

x^{2} - 1 < 0

, luego

f(x) = 2\,(1 - x^{2}) = 2 - 2x^{2} \qquad \text{si } -1 < x \leq \tfrac{1}{2}

Así que, en un entorno de

x=\frac{1}{2}

f(x) = \begin{cases} 2 - 2x^{2} & \text{si } -1 < x \leq \frac{1}{2} \\[1mm] ax^{2} + bx & \text{si } x > \frac{1}{2} \end{cases}

Condición de continuidad. Como

f

es derivable en

\frac{1}{2}

, también es continua ahí:

f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \lim_{x \to \frac{1}{2}^{-}} (2 - 2x^{2}) = 2 - 2\cdot\frac{1}{4} = \frac{3}{2}

\lim_{x \to \frac{1}{2}^{+}} (ax^{2} + bx) = \frac{a}{4} + \frac{b}{2}

\frac{a}{4} + \frac{b}{2} = \frac{3}{2} \;\Longrightarrow\; a + 2b = 6

Condición de derivabilidad. Cada trozo es un polinomio, derivable en su intervalo abierto:

f'(x) = \begin{cases} -4x & \text{si } -1 < x < \frac{1}{2} \\[1mm] 2ax + b & \text{si } x > \frac{1}{2} \end{cases}

Al ser

f

continua en

\frac{1}{2}

, las derivadas laterales son los límites laterales de

f'

f'\!\left(\tfrac{1}{2}^{-}\right) = -4\cdot\frac{1}{2} = -2, \qquad f'\!\left(\tfrac{1}{2}^{+}\right) = 2a\cdot\frac{1}{2} + b = a + b

a + b = -2

Sistema.

\begin{cases} a + 2b = 6 \\ a + b = -2 \end{cases}

Restando la segunda ecuación a la primera:

b = 8

, y entonces

a = -2 - 8 = -10

.

Comprobación: con

a=-10

b=8

el trozo derecho es

-10x^{2} + 8x

-10\cdot\frac{1}{4} + 8\cdot\frac{1}{2} = -\frac{5}{2} + 4 = \frac{3}{2} \qquad\qquad (-20x + 8)\Big|_{x=\frac{1}{2}} = -10 + 8 = -2

Coinciden con el valor

\frac{3}{2}

y la derivada

-2

del trozo izquierdo: se cumplen las dos condiciones.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No olvides la continuidad: igualar solo las derivadas laterales da una ecuación con dos incógnitas y el problema queda sin cerrar. Además, sin continuidad las derivadas laterales no se pueden calcular derivando cada trozo.

Quita el valor absoluto mirando el signo cerca del punto: en $x=\frac{1}{2}$ es $x^{2}-1 = -\frac{3}{4} < 0$ , luego $|x^{2}-1| = 1-x^{2}$ . Quien lo deja como $x^{2}-1$ obtiene derivada lateral $+2$ y un $a$ y un $b$ equivocados.