Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Andalucía · 2026 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera la función

f : [0, \pi] \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = a\operatorname{sen}(x) + \cos(bx)

. Determina

a

b

(0 < b < 3)

, sabiendo que

x = \dfrac{\pi}{2}

es un punto crítico de

f

y que

\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx = 4.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;a = 2, \qquad b = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay dos incógnitas y dos condiciones, y cada una se encarga de una de ellas:

Punto crítico en $x = \frac{\pi}{2}$ significa $f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ . Al derivar, el término $a\cos(x)$ se anula en $\frac{\pi}{2}$ , así que la condición solo afecta a $b$ : queda una ecuación trigonométrica, y la restricción $0 < b < 3$ elige una única solución.
Con $b$ ya conocido, la integral se calcula con la regla de Barrow y da una ecuación lineal en $a$ .

Desarrollo

Paso 1: derivada. Por la regla de la cadena,

\bigl(\cos(bx)\bigr)' = -b\operatorname{sen}(bx)

f'(x) = a\cos(x) - b\operatorname{sen}(bx)

Paso 2: punto crítico en $x = \frac{\pi}{2}$ .

f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = a\cos\frac{\pi}{2} - b\operatorname{sen}\frac{b\pi}{2} = 0 - b\operatorname{sen}\frac{b\pi}{2} = 0

Como

b > 0

, debe ser

\operatorname{sen}\frac{b\pi}{2} = 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{b\pi}{2} = k\pi \;\Longleftrightarrow\; b = 2k, \quad k \in \mathbb{Z}

Los valores posibles son

b = \dots, -2, 0, 2, 4, \dots

, y el único que cumple

0 < b < 3

b = 2

Paso 3: condición de la integral. Con

b = 2

f(x) = a\operatorname{sen}(x) + \cos(2x)

. Una primitiva es

F(x) = -a\cos(x) + \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}

y por la regla de Barrow:

\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx = \left[-a\cos(x) + \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}\right]_{0}^{\pi} = \left(-a\cos\pi + \frac{\operatorname{sen}2\pi}{2}\right) - \left(-a\cos 0 + \frac{\operatorname{sen}0}{2}\right)

= (a + 0) - (-a + 0) = 2a

Imponiendo que valga

4

2a = 4 \;\Longrightarrow\; a = 2

Comprobación.

f(x) = 2\operatorname{sen}(x) + \cos(2x)

f'(x) = 2\cos(x) - 2\operatorname{sen}(2x)

f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 - 2\operatorname{sen}\pi = 0

. Además,

\int_0^{\pi} f(x)\,dx = 2\cdot 2 = 4

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Como

f(x) = 2\operatorname{sen}x + 1 - 2\operatorname{sen}^2 x = 1 + 2\operatorname{sen}x\,(1 - \operatorname{sen}x) \geq 1 > 0

[0, \pi]

, la integral es también el área bajo la gráfica:

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Consejo

Al derivar $\cos(bx)$ no olvides la regla de la cadena: sale $-b\operatorname{sen}(bx)$ , no $-\operatorname{sen}(bx)$ .

La ecuación $\operatorname{sen}\frac{b\pi}{2} = 0$ tiene infinitas soluciones: escríbelas todas ( $b = 2k$ ) y usa la condición $0 < b < 3$ para quedarte con una. Justificar por qué se descartan las demás forma parte de la puntuación.