Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2026 · Julio

Enunciado

Ejercicio 2 (parte obligatoria). Se sabe que la función

f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}

definida por

f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c

, verifica que:

f(1) = 0

x = 0

es un punto crítico de la función y la recta tangente a su gráfica en

x = -1

, es paralela a la recta de ecuación

y + 3x = 0

. Determina

a

b

c

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;a = 3, \qquad b = 0, \qquad c = -4 \qquad \bigl(f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4\bigr)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres incógnitas y tres condiciones: cada frase del enunciado se traduce en una ecuación.

$f(1) = 0$ es una condición sobre la función.
« $x = 0$ es un punto crítico» significa que la derivada se anula ahí: $f'(0) = 0$ .
«La tangente en $x=-1$ es paralela a $y + 3x = 0$ » significa que tiene la misma pendiente. Despejando, esa recta es $y = -3x$ , de pendiente $-3$ , así que $f'(-1) = -3$ .

Con la derivada calculada, las ecuaciones salen casi resueltas.

Desarrollo

La derivada es

f'(x) = 3x^{2} + 2ax + b

Condición 1: $f(1) = 0$ .

1 + a + b + c = 0

Condición 2: $x = 0$ es punto crítico.

f'(0) = b = 0

Condición 3: tangente paralela a $y + 3x = 0$ . Esa recta es

y = -3x

, con pendiente

m = -3

. Rectas paralelas tienen la misma pendiente, y la pendiente de la tangente en

x = -1

f'(-1)

f'(-1) = 3(-1)^{2} + 2a(-1) + b = 3 - 2a + b = -3

Resolución del sistema.

\begin{cases} a + b + c = -1 \\ b = 0 \\ -2a + b = -6 \end{cases}

Con

b = 0

, la tercera da

-2a = -6

, es decir

a = 3

; y la primera,

3 + 0 + c = -1

, luego

c = -4

.

La función es

f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4

Comprobación.

$f(1) = 1 + 3 - 4 = 0$ ✓
$f'(x) = 3x^{2} + 6x$ , y $f'(0) = 0$ ✓
$f'(-1) = 3 - 6 = -3$ ✓

Además la tangente en

x=-1

es paralela y no coincidente con

y = -3x

: como

f(-1) = -1 + 3 - 4 = -2

, la tangente es

y + 2 = -3(x + 1)

, es decir

y = -3x - 5

, que no es la recta

y = -3x

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error típico es tomar la pendiente de $y + 3x = 0$ como $3$ : hay que despejar $y$ antes de leerla ( $y = -3x$ , pendiente $-3$ ). Con el signo cambiado, $a$ sale $0$ y todo lo demás se desmorona.

Los criterios reparten la nota por condiciones (0,5 + 0,5 + 0,75 puntos): escribe cada ecuación por separado y di de qué condición sale. «Punto crítico» quiere decir $f'(0) = 0$ , no $f(0) = 0$ .