Derivadas y aplicaciones

a) La producción está entre $7$ y $8$.

Acotación directa. Para cualquier $t$, el cuadrado cumple $(t-4)^{2} \geq 0$, luego$$-(t-4)^{2} \leq 0$$Como la exponencial $e^{u}$ es creciente y siempre positiva,$$0 < e^{-(t-4)^{2}} \leq e^{0} = 1$$Sumando $7$ a los tres miembros:$$7 < f(t) = 7 + e^{-(t-4)^{2}} \leq 8$$La igualdad $f(t) = 8$ se da solo cuando $(t-4)^{2} = 0$, es decir en $t = 4$: $f(4) = 7 + e^{0} = 8$.

Confirmación con la monotonía. Derivando con la regla de la cadena:$$f'(t) = e^{-(t-4)^{2}}\cdot\bigl(-2(t-4)\bigr) = -2(t-4)\,e^{-(t-4)^{2}}$$Como $e^{-(t-4)^{2}} > 0$, el signo de $f'$ es el de $-2(t-4)$:

• si $t < 4$, $f'(t) > 0$ y la producción crece;
• si $t > 4$, $f'(t) < 0$ y la producción decrece.

Así que en $t = 4$ hay un máximo absoluto, $f(4) = 8\ \text{m}^3$. En el instante inicial, $f(0) = 7 + e^{-16} \approx 7{,}0000001$, y a partir de $t = 4$ la función baja acercándose a $7$ (ver el apartado b). En cualquier caso, $7 < f(t) \leq 8$: la producción varía siempre entre $7$ y $8$ metros cúbicos.

¿Se producen $7\ \text{m}^3$ en algún momento?$$f(t) = 7 \;\Longleftrightarrow\; e^{-(t-4)^{2}} = 0$$y esa ecuación no tiene solución, porque una exponencial nunca vale $0$. Por tanto, en ningún momento concreto se producen exactamente $7$ metros cúbicos: es un valor al que la producción se acerca tanto como se quiera, pero que no alcanza.

b) La producción se estabiliza. Calculamos el límite cuando el tiempo crece:$$\lim_{t \to +\infty} (t-4)^{2} = +\infty \;\Longrightarrow\; \lim_{t \to +\infty} e^{-(t-4)^{2}} = e^{-\infty} = 0$$$$\lim_{t \to +\infty} f(t) = 7 + 0 = 7$$La recta $y = 7$ es una asíntota horizontal de $f$ cuando $t \to +\infty$: con el paso del tiempo la producción se estabiliza en torno a $7$ metros cúbicos (acercándose por encima, ya que $f(t) > 7$ siempre).