Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio (solapamiento)

Datos. De la recta: punto $P_r = (1, -1, 1)$ (con $\alpha = 0$) y vector director $\vec u = (1, -2, 0)$. Del plano: vector normal $\vec n = (2, 1, 0)$.

a) Normal de $\pi_1$. El plano $\pi_1$ contiene las direcciones $\vec u$ (porque contiene a $r$) y $\vec n$ (porque es perpendicular a $\pi$). Su normal es perpendicular a las dos:$$\vec n_1 = \vec u \times \vec n = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 5) \;\parallel\; (0, 0, 1)$$Ecuación. Plano de normal $(0, 0, 1)$ que pasa por $P_r = (1, -1, 1)$:$$0(x - 1) + 0(y + 1) + 1(z - 1) = 0 \;\Rightarrow\; \pi_1: z - 1 = 0$$Comprobación. Todos los puntos de $r$ tienen $z = 1$, así que $r \subset \pi_1$; y $\vec n_1\cdot\vec n = (0, 0, 1)\cdot(2, 1, 0) = 0$, luego $\pi_1 \perp \pi$ ✓.

b) ¿Es $r$ paralela a $\pi$?$$\vec u\cdot\vec n = (1, -2, 0)\cdot(2, 1, 0) = 2 - 2 + 0 = 0$$El director de $r$ es perpendicular al normal de $\pi$: $r$ es paralela a $\pi$ o está contenida en él. Como $P_r$ no está en $\pi$ ($2 - 1 - 3 = -2 \neq 0$), $r$ es paralela a $\pi$ y no está en él. Por tanto, el plano pedido existe (y es único).

Ecuación. Los planos paralelos a $\pi$ son $2x + y + D = 0$. Imponemos que pase por $P_r$:$$2\cdot 1 + (-1) + D = 0 \;\Rightarrow\; D = -1 \;\Rightarrow\; \pi_2: 2x + y - 1 = 0$$Comprobación. Un punto cualquiera de $r$: $2(1 + \alpha) + (-1 - 2\alpha) - 1 = 0$ para todo $\alpha$ ✓.