Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera el plano \pi \equiv 2x - y + 2z - 3 = 0 y la recta r \equiv \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{m - 2}. a) [1,5 puntos] Halla la posición relativa de \pi y r según los valores de m. b) [1 punto] Para m = 1, determina la ecuación del plano que contiene a r y corta perpendicularmente a \pi.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2026 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera el plano

\pi \equiv 2x - y + 2z - 3 = 0

y la recta

r \equiv \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{m - 2}

.

a) [1,5 puntos] Halla la posición relativa de

\pi

r

según los valores de

m

.

b) [1 punto] Para

m = 1

, determina la ecuación del plano que contiene a

r

y corta perpendicularmente a

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad m \neq \tfrac{1}{2}: \text{ secantes}; \qquad m = \tfrac{1}{2}: \text{ paralelos}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad x - 6y - 4z + 7 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Una recta y un plano solo pueden cortarse en un punto, ser paralelos o estar la recta contenida en el plano. Lo decide el producto escalar entre el vector director de la recta,

\vec{d}_r

, y el vector normal del plano,

\vec{n}_\pi

si $\vec{d}_r\cdot\vec{n}_\pi \neq 0$ , la recta no es paralela al plano y lo corta en un punto;
si $\vec{d}_r\cdot\vec{n}_\pi = 0$ , es paralela o está contenida, y se distingue mirando si un punto de $r$ está en $\pi$ .

b) El plano buscado contiene a

r

(pasa por su punto y lleva su dirección) y es perpendicular a

\pi

, así que también lleva la dirección del normal de

\pi

. Con un punto y dos vectores directores, su normal es el producto vectorial de ambos.

Desarrollo

Datos. De la ecuación continua de

r

: punto

P_r = (1, 0, 2)

y vector director

\vec{d}_r = (2, 1, m - 2)

. Del plano:

\vec{n}_\pi = (2, -1, 2)

.

a) Producto escalar.

\vec{d}_r\cdot\vec{n}_\pi = 2\cdot 2 + 1\cdot(-1) + (m-2)\cdot 2 = 4 - 1 + 2m - 4 = 2m - 1

2m - 1 = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = \frac{1}{2}

Si $m \neq \frac{1}{2}$ : $\vec{d}_r\cdot\vec{n}_\pi \neq 0$ , la recta no es paralela al plano, luego $r$ y $\pi$ son secantes (se cortan en un único punto).

Si $m = \frac{1}{2}$ : $\vec{d}_r \perp \vec{n}_\pi$ , así que $r$ es paralela a $\pi$ o está contenida en él. Comprobamos si $P_r = (1, 0, 2)$ está en $\pi$ :

2\cdot 1 - 0 + 2\cdot 2 - 3 = 3 \neq 0

P_r \notin \pi

, así que

r

\pi

son paralelos (no tienen ningún punto en común).

(Para $m = 2$ el denominador de la tercera fracción es $0$ ; por convenio significa $z - 2 = 0$ y la recta tiene director $(2, 1, 0)$ . Como $2\cdot 2 - 1 = 3 \neq 0$ , también es secante, así que entra en el primer caso. La recta nunca está contenida en $\pi$ , porque $P_r$ no está en el plano para ningún $m$ .)

b) Plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$ , con $m = 1$ . Ahora

\vec{d}_r = (2, 1, -1)

. El plano

\sigma

buscado:

pasa por $P_r = (1, 0, 2)$ y contiene la dirección $\vec{d}_r = (2, 1, -1)$ ;
es perpendicular a $\pi$ , así que contiene la dirección $\vec{n}_\pi = (2, -1, 2)$ .

Como

\vec{d}_r

\vec{n}_\pi

no son proporcionales, determinan el plano. Su vector normal:

\vec{n}_\sigma = \vec{d}_r\times\vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (2 - 1)\,\vec{i} - (4 + 2)\,\vec{j} + (-2 - 2)\,\vec{k} = (1,\ -6,\ -4)

Ecuación del plano por

P_r

1\,(x - 1) - 6\,(y - 0) - 4\,(z - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; x - 6y - 4z + 7 = 0

Comprobaciones.

P_r

1 - 0 - 8 + 7 = 0

\vec{n}_\sigma\cdot\vec{d}_r = 2 - 6 + 4 = 0

(contiene a

r

\vec{n}_\sigma\cdot\vec{n}_\pi = 2 + 6 - 8 = 0

(perpendicular a

\pi

). Además, con

m = 1 \neq \frac{1}{2}

la recta corta a

\pi

, así que

\sigma

efectivamente corta a

\pi

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que $\vec{d}_r\cdot\vec{n}_\pi = 0$ no basta para decir «paralelos»: también podría estar contenida. Hay que comprobar siempre si un punto de la recta cumple la ecuación del plano.

En b), el plano perpendicular a $\pi$ contiene el vector normal de $\pi$ (no lo tiene como normal). Comprueba al final que el normal obtenido es perpendicular a $\vec{d}_r$ y a $\vec{n}_\pi$ : son dos productos escalares y evitan entregar un signo mal.