Rectas y planos

Datos. De la recta y del plano leemos$$R_{0}(0, -1, 3) \in r, \qquad \vec{v}_{r} = (-2,\ 2,\ 2), \qquad \vec{n} = (1,\ -2,\ 1)$$a) Posición de $r$ respecto de $\pi$. Como $\vec{v}_{r}\cdot\vec{n} = -2 - 4 + 2 = -4 \neq 0$, la recta no es paralela al plano: lo corta en un único punto.

Punto de corte. Sustituimos el punto genérico de $r$ en la ecuación de $\pi$:$$(-2\lambda) - 2(-1 + 2\lambda) + (3 + 2\lambda) - 3 = -2\lambda + 2 - 4\lambda + 2\lambda = 2 - 4\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac{1}{2}$$$$Q = \left(-2\cdot\tfrac{1}{2},\ -1 + 2\cdot\tfrac{1}{2},\ 3 + 2\cdot\tfrac{1}{2}\right) = (-1,\ 0,\ 4)$$(Comprobación: $-1 - 0 + 4 - 3 = 0$, así que $Q \in \pi$.)

Dirección de $s$. Debe ser perpendicular a $\vec{v}_{r}$ y a $\vec{n}$:$$\vec{v}_{r} \times \vec{n} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right| = (2 + 4)\,\vec{i} - (-2 - 2)\,\vec{j} + (4 - 2)\,\vec{k} = (6,\ 4,\ 2)$$Podemos simplificarlo y tomar $\vec{v}_{s} = (3,\ 2,\ 1)$.

Comprobaciones. $\vec{v}_{s}\cdot\vec{v}_{r} = -6 + 4 + 2 = 0$ (perpendicular a $r$) y $\vec{v}_{s}\cdot\vec{n} = 3 - 4 + 1 = 0$ (paralela a $\pi$); como además $Q \in \pi$, la recta está contenida en $\pi$.

La recta pedida es$$s \equiv \begin{cases} x = -1 + 3\mu \\ y = 2\mu \\ z = 4 + \mu \end{cases} \qquad\text{o, en forma continua,}\qquad \frac{x + 1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z - 4}{1}$$b) Primero, $P(1,1,1)$ no está en $\pi$: $1 - 2 + 1 - 3 = -3 \neq 0$.

Recta por $P$ perpendicular a $\pi$ (su dirección es la normal):$$t \equiv \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 1 - 2\mu \\ z = 1 + \mu \end{cases}$$Corte con $\pi$ (proyección ortogonal de $P$):$$(1 + \mu) - 2(1 - 2\mu) + (1 + \mu) - 3 = 6\mu - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; \mu = \frac{1}{2}$$$$M = \left(1 + \tfrac{1}{2},\ 1 - 1,\ 1 + \tfrac{1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2},\ 0,\ \frac{3}{2}\right)$$El simétrico. $M$ es el punto medio de $P$ y $P'$, luego $P' = 2M - P$:$$P' = \left(2\cdot\tfrac{3}{2} - 1,\ 2\cdot 0 - 1,\ 2\cdot\tfrac{3}{2} - 1\right) = (2,\ -1,\ 2)$$Comprobación. $\overrightarrow{PP'} = (1, -2, 1)$ es justo $\vec{n}$ (perpendicular al plano), y al sustituir en $\pi$ los dos puntos dan valores opuestos, $-3$ para $P$ y $2 + 2 + 2 - 3 = 3$ para $P'$: están a la misma distancia, uno a cada lado.