Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera los puntos P(4,-2,3) y Q(6,2,1). a) [1 punto] Halla la ecuación del plano respecto del cual los puntos P y Q son simétricos. b) [1,5 puntos] Determina el ángulo formado por el plano 2x + y + z - 5 = 0 y la recta que une P y Q.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Vectores y ángulos

Andalucía · 2026 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera los puntos

P(4,-2,3)

Q(6,2,1)

.

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano respecto del cual los puntos

P

Q

son simétricos.

b) [1,5 puntos] Determina el ángulo formado por el plano

2x + y + z - 5 = 0

y la recta que une

P

Q

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } x + 2y - z - 3 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } \operatorname{sen}\alpha = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; \alpha = 30^\circ\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Que

P

Q

sean simétricos respecto de un plano significa dos cosas: el segmento

PQ

es perpendicular al plano y el plano pasa por su punto medio. Ese plano es el plano mediador del segmento: su vector normal es

\overrightarrow{PQ}

y contiene a

M

, el punto medio.

En b) la recta que une

P

Q

tiene como director el mismo

\overrightarrow{PQ}

. El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del que forman el director de la recta y el normal del plano, por eso se calcula con un seno:

\operatorname{sen}\alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{\lVert\vec{u}\rVert\,\lVert\vec{n}\rVert}

Desarrollo

Vector $\overrightarrow{PQ}$ y punto medio.

\overrightarrow{PQ} = Q - P = (6-4,\ 2-(-2),\ 1-3) = (2,\ 4,\ -2)

M = \left(\frac{4+6}{2},\ \frac{-2+2}{2},\ \frac{3+1}{2}\right) = (5,\ 0,\ 2)

a) Plano mediador. Su vector normal es

\overrightarrow{PQ} = (2,4,-2)

, o cualquier proporcional; tomamos el más sencillo,

\vec{n} = (1,\ 2,\ -1)

. El plano es

\sigma \equiv x + 2y - z + D = 0

e impone que pase por

M(5,0,2)

5 + 2\cdot 0 - 2 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -3

\sigma \equiv x + 2y - z - 3 = 0

Comprobación:

P

Q

equidistan de

\sigma

y quedan a lados opuestos:

x + 2y - z - 3 \text{ en } P:\ 4 - 4 - 3 - 3 = -6, \qquad \text{en } Q:\ 6 + 4 - 1 - 3 = 6

Valores opuestos, luego

d(P,\sigma) = d(Q,\sigma) = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}

M \in \sigma

.

b) Ángulo entre la recta $PQ$ y el plano $\pi \equiv 2x + y + z - 5 = 0$ .

Director de la recta:

\vec{u} = \overrightarrow{PQ} = (2,4,-2)

. Normal del plano:

\vec{n}_{\pi} = (2,1,1)

.

Producto escalar y módulos:

\vec{u}\cdot\vec{n}_{\pi} = 2\cdot 2 + 4\cdot 1 + (-2)\cdot 1 = 4 + 4 - 2 = 6

\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}, \qquad \lVert\vec{n}_{\pi}\rVert = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}

Como el ángulo recta–plano es el complementario del que forman

\vec{u}

\vec{n}_{\pi}

\operatorname{sen}\alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}_{\pi}|}{\lVert\vec{u}\rVert\,\lVert\vec{n}_{\pi}\rVert} = \frac{6}{2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

\alpha = \arcsin\frac{1}{2} = 30^\circ = \frac{\pi}{6}\ \text{rad}

(Equivalentemente,

\vec{u}

\vec{n}_{\pi}

forman

60^\circ

, y

90^\circ - 60^\circ = 30^\circ

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El ángulo entre recta y plano va con seno, no con coseno: el coseno de $\vec{u}$ y $\vec{n}$ da el ángulo con la normal ( $60^\circ$ ), y quien lo da como respuesta pierde el apartado. Si usas el coseno, resta de $90^\circ$ al final.

El valor absoluto del producto escalar asegura un ángulo entre $0^\circ$ y $90^\circ$ . Y en a), comprueba que el punto medio cumple la ecuación: es la prueba más rápida de que el plano mediador está bien.