Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2026 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera los planos

\pi_1 \equiv 2x - y - z = 7

\;\pi_2 \equiv x - 2y + z = 3

y el punto

P(1,1,0)

.

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto

P

y es paralela a ambos planos.

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el punto

P

y es perpendicular a

\pi_1

y a

\pi_2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } r \equiv x - 1 = y - 1 = z \quad \bigl((x,y,z) = (1,1,0) + \lambda(1,1,1)\bigr)\;}

\boxed{\;\text{b) } x + y + z - 2 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados giran en torno al mismo vector: el producto vectorial de los dos vectores normales,

\vec{n}_1\times\vec{n}_2

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al vector normal del plano. Si tiene que ser paralela a los dos, su director debe ser perpendicular a $\vec{n}_1$ y a $\vec{n}_2$ a la vez: eso es $\vec{n}_1\times\vec{n}_2$ (la dirección de la recta en la que se cortan los dos planos).
Un plano es perpendicular a otro cuando contiene su vector normal. Si tiene que ser perpendicular a los dos, contiene las direcciones $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$ , así que su vector normal es, otra vez, $\vec{n}_1\times\vec{n}_2$ .

Es decir: la recta de a) es perpendicular al plano de b).

Desarrollo

Vectores normales:

\vec{n}_1 = (2, -1, -1)

\vec{n}_2 = (1, -2, 1)

. No son proporcionales, así que los planos se cortan en una recta.

\vec{n}_1\times\vec{n}_2 = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right| = (-1 - 2)\,\vec{i} - (2 + 1)\,\vec{j} + (-4 + 1)\,\vec{k} = (-3, -3, -3)

Tomamos el vector proporcional, más cómodo,

\vec{w} = (1, 1, 1)

.

a) Recta por $P$ paralela a $\pi_1$ y a $\pi_2$ .

Su vector director debe ser perpendicular a

\vec{n}_1

y a

\vec{n}_2

, así que

\vec{u} = (1, 1, 1)

. Comprobación:

\vec{u}\cdot\vec{n}_1 = 2 - 1 - 1 = 0

✓ y

\vec{u}\cdot\vec{n}_2 = 1 - 2 + 1 = 0

✓.

Con el punto

P(1, 1, 0)

r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R} \qquad\Longleftrightarrow\qquad r \equiv x - 1 = y - 1 = z

Además,

P

no está en ninguno de los planos (

2 - 1 - 0 = 1 \neq 7

1 - 2 + 0 = -1 \neq 3

), así que

r

es paralela a ambos sin estar contenida en ellos.

b) Plano por $P$ perpendicular a $\pi_1$ y a $\pi_2$ .

Al ser perpendicular a los dos, contiene las direcciones

\vec{n}_1

\vec{n}_2

, y su vector normal es

\vec{n} = \vec{n}_1\times\vec{n}_2 \parallel (1, 1, 1)

. Con el punto

P(1, 1, 0)

1\,(x - 1) + 1\,(y - 1) + 1\,(z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; x + y + z - 2 = 0

Comprobaciones.

P

1 + 1 + 0 - 2 = 0

✓. Perpendicularidad:

(1,1,1)\cdot\vec{n}_1 = 0

✓ y

(1,1,1)\cdot\vec{n}_2 = 0

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La corrección da 0,75 puntos en cada apartado por el vector (director en a, normal en b), y en los dos es el mismo: $\vec{n}_1\times\vec{n}_2$ . Lo que hay que saber justificar es por qué.

No confundas «paralela a un plano» con «perpendicular a un plano»: una recta paralela a $\pi$ tiene el director perpendicular a $\vec{n}_\pi$ ; usar $\vec{n}_1$ o $\vec{n}_2$ como director da una recta perpendicular a ese plano. Y cuida los signos del determinante del producto vectorial.