Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio (solapamiento)

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Sean las rectas

r: \begin{cases} 2x + y = a \\ z = 1 \end{cases}

s: \begin{cases} -x + 2y + 2z = 5 \\ x + z = a \end{cases}

. Se pide:

a) Estudiar, según el valor de

a

, la posición relativa de las dos rectas. (1 punto)

b) Calcular, si es posible, el valor de

a

para que las rectas se corten y, en ese caso, encontrar el punto de corte

P

. (1 punto)

c) Calcular la distancia entre el origen de coordenadas y

P

. (0.5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\vec u_r = (1, -2, 0)

\vec u_s = (2, 3, -2)

no son proporcionales: nunca son paralelas. Si

a = \frac{2}{3}

se cortan; si

a \neq \frac{2}{3}

se cruzan.

b)

a = \frac{2}{3}

P = \left(-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, 1\right)

.

c)

d(O, P) = \frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1{,}70

unidades.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos rectas vienen como corte de dos planos. Hay dos maneras de estudiarlas y conviene combinarlas:

Con los vectores directores (producto vectorial de los normales) se ve si son paralelas o no.
Juntando las cuatro ecuaciones en un sistema, los rangos dicen si tienen un punto común: si la matriz de coeficientes tiene rango 3 y la ampliada también, se cortan; si la ampliada tiene rango 4, se cruzan.

a

que anula el determinante

4\times 4

es el de corte, y resolviendo el sistema con ese valor sale

P

. La distancia de c) es el módulo del vector

\overrightarrow{OP}

Desarrollo

a) Vectores directores. Cada recta es el corte de dos planos, así que su dirección es el producto vectorial de los dos vectores normales:

\vec u_r = (2, 1, 0)\times(0, 0, 1) = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1, -2, 0)

\vec u_s = (-1, 2, 2)\times(1, 0, 1) = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (2, 3, -2)

¿Paralelas?

\frac{1}{2} \neq \frac{-2}{3}

: los vectores no son proporcionales, así que las rectas nunca son paralelas ni coincidentes, valga lo que valga

a

. Solo pueden cortarse o cruzarse.

El sistema de las cuatro ecuaciones.

M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad M^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & a \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & 1 & a \end{pmatrix}

\text{rg}(M) = 3

siempre (las rectas no son paralelas; por ejemplo, el menor de las filas 1, 2 y 4 vale

1 \neq 0

).

Determinante de la ampliada. Desarrollando por la segunda fila

(0, 0, 1, 1)

|M^*| = -\begin{vmatrix} 2 & 1 & a \\ -1 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & a \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -(3a + 5) + 7 = 2 - 3a

Posición relativa.

Si $a \neq \frac{2}{3}$ : $\text{rg}(M^*) = 4 \neq \text{rg}(M) = 3$ , el sistema no tiene solución y las rectas no son paralelas: se cruzan.
Si $a = \frac{2}{3}$ : $\text{rg}(M) = \text{rg}(M^*) = 3$ , hay un único punto común: se cortan.

b) El valor de $a$ . Por a), las rectas se cortan solo para

a = \frac{2}{3}

.

Punto de corte. Resolvemos el sistema con

a = \frac{2}{3}

. De

z = 1

x + z = \frac{2}{3}

sale

x = -\frac{1}{3}

. En

-x + 2y + 2z = 5

\frac{1}{3} + 2y + 2 = 5 \;\Rightarrow\; 2y = \frac{8}{3} \;\Rightarrow\; y = \frac{4}{3}

Comprobación en la ecuación que queda:

2x + y = -\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2}{3} = a

✓.

P = \left(-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, 1\right)

c) Distancia al origen. Es el módulo de

\overrightarrow{OP}

d(O, P) = \sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{16}{9} + \frac{9}{9}} = \sqrt{\frac{26}{9}} = \frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1{,}6997

Consejo

Para la posición relativa de dos rectas, mira primero los vectores directores (¿paralelas o no?) y luego si tienen un punto común. Si no son paralelas y no se cortan, se cruzan: no olvides decirlo para todos los valores del parámetro.

En el determinante $4\times 4$ , desarrolla por la fila con más ceros. Y comprueba el punto de corte en las cuatro ecuaciones: si una falla, hay un error en la cuenta.