Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio (solapamiento)

Enunciado

Una entidad financiera utiliza modelos matriciales para simular el riesgo de una cartera de inversión compuesta por dos tipos de activos. La matriz de simulación es

A = \begin{pmatrix} 1 - a & 1 \\ 1 & 1 + a \end{pmatrix},

donde

a

es un parámetro real de ajuste que refleja la volatilidad histórica del mercado.

a) El riesgo óptimo se obtiene cuando se verifica la ecuación

A^2 - I = 2A

, donde

I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

. Determinar para qué valores de

a

se optimiza el riesgo. (1 punto)

b) En determinadas condiciones de mercado, resulta conveniente invertir la simulación deshaciendo los cálculos previamente realizados. Para ello se necesita que la matriz de simulación admita inversa. Obtener los valores de

a

para los cuales se cumple esta última condición y calcular la inversa de la matriz de simulación en función del parámetro

a

. (1.5 puntos)

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Resultado

A^2 - I = 2A \iff a^2 = 1

: el riesgo se optimiza para

a = 1

a = -1

.

b)

|A| = -a^2

: hay inversa para todo

a \neq 0

, y

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1 + a}{a^2} & \frac{1}{a^2} \\ \frac{1}{a^2} & -\frac{1 - a}{a^2} \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El contexto financiero es decorado: es un ejercicio de cálculo matricial con un parámetro.

En a) calculamos $A^2$ , formamos $A^2 - I$ y lo igualamos a $2A$ elemento a elemento. Salen cuatro ecuaciones en $a$ ; los valores buscados son los que cumplen todas a la vez.
En b), una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Después, la inversa de una $2\times 2$ por adjuntos: $A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,\text{Adj}(A)^t$ .

Desarrollo

a) Cuadrado de $A$ .

A^2 = \begin{pmatrix} 1 - a & 1 \\ 1 & 1 + a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 - a & 1 \\ 1 & 1 + a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1-a)^2 + 1 & (1 - a) + (1 + a) \\ (1 - a) + (1 + a) & 1 + (1+a)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 - 2a + 2 & 2 \\ 2 & a^2 + 2a + 2 \end{pmatrix}

Los dos miembros.

A^2 - I = \begin{pmatrix} a^2 - 2a + 1 & 2 \\ 2 & a^2 + 2a + 1 \end{pmatrix},\qquad 2A = \begin{pmatrix} 2 - 2a & 2 \\ 2 & 2 + 2a \end{pmatrix}

Igualar elemento a elemento. Los elementos de fuera de la diagonal ya coinciden (

2 = 2

). En la diagonal:

a^2 - 2a + 1 = 2 - 2a \iff a^2 = 1,\qquad a^2 + 2a + 1 = 2 + 2a \iff a^2 = 1

Las dos ecuaciones dan lo mismo:

a = 1

a = -1

.

Comprobación con $a = 1$ .

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}

A^2 - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 2A

✓.

b) Determinante.

|A| = (1 - a)(1 + a) - 1\cdot 1 = 1 - a^2 - 1 = -a^2

Condición de inversa.

A

es invertible si y solo si

|A| = -a^2 \neq 0

, es decir, para todo $a \neq 0$ . (Con

a = 0

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

, de filas iguales.)

Adjunta. Los adjuntos de una

2\times 2

son inmediatos:

A_{11} = 1 + a

A_{12} = -1

A_{21} = -1

A_{22} = 1 - a

. Como la matriz es simétrica, la adjunta traspuesta es

\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 + a & -1 \\ -1 & 1 - a \end{pmatrix}

Inversa. Para

a \neq 0

A^{-1} = \frac{1}{-a^2}\begin{pmatrix} 1 + a & -1 \\ -1 & 1 - a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1 + a}{a^2} & \dfrac{1}{a^2} \\[2mm] \dfrac{1}{a^2} & -\dfrac{1 - a}{a^2} \end{pmatrix}

Comprobación. El elemento

(1,1)

A\,A^{-1}

\frac{-(1-a)(1+a) + 1}{a^2} = \frac{a^2}{a^2} = 1

, y el

(1,2)

\frac{(1-a) - (1-a)}{a^2} = 0

✓.

Consejo

En una igualdad de matrices hay que plantear todas las ecuaciones elemento a elemento y quedarse con los valores que las cumplen a la vez; aquí coinciden, pero no siempre pasa.

En la inversa, no olvides el signo del determinante: $|A| = -a^2$ es negativo, y ese signo pasa a todos los elementos. Multiplicar $A\,A^{-1}$ para comprobar cuesta un minuto.