Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Matrices

Castilla-La Mancha · 2026 · Junio

Enunciado

a) (1 punto) Determina los valores de

a

b

para que las matrices

A

B

cumplan que

A\cdot B = I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3.

A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

b) (1 punto) Resuelve razonadamente el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{l} X + Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \\[2ex] 2X + 3Y = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} \end{array}\right.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ a = 1,\quad b = 2\;}

\boxed{\;\text{b)}\ X = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\quad Y = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) no hace falta nada sofisticado: multiplicamos

A\cdot B

dejando

a

b

como letras e igualamos, elemento a elemento, a la identidad. Cada casilla da una ecuación sencilla; hay más ecuaciones que incógnitas, así que hay que comprobar que todas son compatibles. Que

A\cdot B = I

significa, en el fondo, que

B

es la inversa de

A

.

En b) el sistema matricial se resuelve exactamente igual que uno de números, por reducción: las incógnitas son matrices

2\times 2

, pero sumarlas, restarlas y multiplicarlas por un número funciona elemento a elemento. Eliminamos

X

restando el doble de la primera ecuación a la segunda, despejamos

Y

y luego

X

. Al final, comprobamos en las dos ecuaciones.

Desarrollo

a) Multiplicamos fila de

A

por columna de

B

A\cdot B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - a - 1 & -1 + a & -1 + 1 \\ 3 - 2 - 1 & -1 + 2 & -1 + 1 \\ 3 - 1 - b & -1 + 1 & -1 + b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - a & a - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 - b & 0 & b - 1 \end{pmatrix}

Igualando a

I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Fila 1: $2 - a = 1$ y $a - 1 = 0$ , las dos dan $a = 1$ .
Fila 2: ya coincide con la de $I$ , sin condiciones.
Fila 3: $2 - b = 0$ y $b - 1 = 1$ , las dos dan $b = 2$ .

Las ecuaciones son compatibles, así que

a = 1

b = 2

.

Comprobación: con esos valores,

A\cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Por tanto

B = A^{-1}

(para matrices cuadradas,

A\cdot B = I

ya implica también

B\cdot A = I

).

b) Llamamos

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \qquad N = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}

de modo que el sistema es

X + Y = M

2X + 3Y = N

.

Reducción. Restamos a la segunda ecuación el doble de la primera:

(2X + 3Y) - 2(X + Y) = N - 2M \;\Longrightarrow\; Y = N - 2M

Y = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}

Despejamos

X

de la primera ecuación:

X = M - Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

Comprobación (las dos ecuaciones se cumplen):

X + Y = \begin{pmatrix} -1 + 2 & -1 + 1 \\ -1 + 3 & 0 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

2X + 3Y = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}

Consejo

En a) no te quedes con una sola casilla por incógnita: hay dos ecuaciones para $a$ y dos para $b$ , y conviene decir que son compatibles. Una casilla mal multiplicada da un valor que no cuadra.

En b) se resuelve como un sistema de números, pero sin dividir entre matrices: solo sumas, restas y productos por números. Comprobar en las dos ecuaciones cuesta un minuto y asegura el punto.