Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2026 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \end{pmatrix},

calcula la matriz

X

que satisface

X - 2C = B^{t} + XA

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -7 & 1 & -11 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero, dimensiones:

B^{t}

C

son matrices fila

1\times 3

, así que

X

también tiene que ser

1 \times 3

(y entonces

XA

1\times 3

, como debe).

Después se despeja como en una ecuación normal, pero respetando el orden de los productos: todas las

X

a un lado, y se saca

X

factor común por la izquierda, escribiendo

X = XI

X - XA = X(I - A)

I - A

tiene inversa, se multiplica por la derecha por

(I-A)^{-1}

en los dos miembros.

Desarrollo

Despejar $X$ . Pasamos

XA

al primer miembro y

-2C

al segundo:

X - XA = B^{t} + 2C \;\Longrightarrow\; X\,(I - A) = B^{t} + 2C

I - A

es invertible, multiplicando por la derecha por su inversa:

X = \bigl(B^{t} + 2C\bigr)\,(I - A)^{-1}

La matriz $I - A$ y su determinante.

I - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}

Desarrollando por la primera fila (solo tiene un elemento no nulo):

|I - A| = (-1)\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (-1)\cdot(-1 - 0) = 1 \neq 0

Luego

I - A

es invertible.

La inversa por adjuntos. Los adjuntos de

M = I - A

son

M_{11} = 0,\ M_{12} = 0,\ M_{13} = -1, \qquad M_{21} = 1,\ M_{22} = 0,\ M_{23} = 0, \qquad M_{31} = -1,\ M_{32} = -1,\ M_{33} = 0

\operatorname{Adj}(I-A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; (I-A)^{-1} = \frac{1}{|I-A|}\,\bigl[\operatorname{Adj}(I-A)\bigr]^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

El segundo miembro.

B^{t} + 2C = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 8 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 10 & 7 \end{pmatrix}

Cálculo de $X$ .

X = \begin{pmatrix} 1 & 10 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 0 - 7 & 1 + 0 + 0 & -1 - 10 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & 1 & -11 \end{pmatrix}

Otra forma (sin inversa). Con

X = (x\ \ y\ \ z)

, la ecuación

X(I-A) = (1\ \ 10\ \ 7)

\begin{pmatrix} y & -y - z & -x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 10 & 7 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; y = 1,\quad z = -11,\quad x = -7

Comprobación.

XA = \begin{pmatrix} -7 & 1 & -11 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & -9 & -18 \end{pmatrix}

X - 2C = \begin{pmatrix} -9 & -7 & -15 \end{pmatrix}, \qquad B^{t} + XA = \begin{pmatrix} -1-8 & 2-9 & 3-18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & -7 & -15 \end{pmatrix}

Los dos miembros coinciden.

Consejo

El fallo típico es sacar factor común por el lado equivocado: $X - XA = X(I-A)$ , nunca $(I-A)X$ ni $X(1-A)$ . Y por eso la inversa se multiplica por la derecha: $X = (B^{t}+2C)(I-A)^{-1}$ . Al revés el producto ni siquiera estaría definido ( $3\times 3$ por $1\times 3$ ).

Despejar bien vale $1{,}5$ puntos de los $2{,}5$ : escribe el paso $X(I-A) = B^{t}+2C$ y justifica que $|I-A| \neq 0$ antes de usar la inversa. Comprobar al final cuesta un minuto.