Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Andalucía · 2026 · Julio

Enunciado

Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}.

a) [1 punto] Halla razonadamente el determinante de una matriz

X

que verifica

A^{3}XB^{t} = 5B^{2}A^{-1}

.

b) [1,5 puntos] Determina, si existe, una matriz

Y

que verifica

A^{3}YB^{-1} = A^{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |X| = \frac{25}{4}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad Y = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados se parecen, pero se resuelven de forma muy distinta.

En a) no hace falta despejar

X

(saldría una matriz con fracciones feísimas). Basta con tomar determinantes en los dos miembros y usar sus propiedades:

|MN| = |M|\,|N|

|M^{t}| = |M|

|M^{-1}| = 1/|M|

y, para una matriz

2\times 2

|kM| = k^{2}|M|

. Así la ecuación matricial se convierte en una ecuación numérica para

|X|

.

En b) sí se pide la matriz. Se despeja

Y

simbólicamente multiplicando por las inversas por el lado correcto (el producto de matrices no es conmutativo) y, antes de operar, se simplifica: verás que todo se reduce a

Y = A^{-1}B

Desarrollo

Determinantes de partida.

|A| = 2\cdot 4 - 2\cdot 3 = 2, \qquad |B| = 3\cdot 2 - 1\cdot 2 = 4

Las dos son distintas de cero, así que

A

B

tienen inversa (y las expresiones

A^{-1}

B^{-1}

del enunciado tienen sentido).

a) Tomamos determinantes en

A^{3}XB^{t} = 5B^{2}A^{-1}

. En el primer miembro:

|A^{3}XB^{t}| = |A|^{3}\,|X|\,|B^{t}| = 2^{3}\cdot |X|\cdot 4 = 32\,|X|

En el segundo, como las matrices son de orden

2

, el factor

5

sale al cuadrado:

|5B^{2}A^{-1}| = 5^{2}\,|B|^{2}\,|A^{-1}| = 25\cdot 16\cdot \frac{1}{2} = 200

Igualando:

32\,|X| = 200 \;\Longrightarrow\; |X| = \frac{200}{32} = \frac{25}{4} = 6{,}25

(Comprobación: despejando, $X = A^{-3}\,(5B^{2}A^{-1})\,(B^{t})^{-1}$ , que es una matriz de entradas $\tfrac{3215}{8}, -\tfrac{4395}{8}, -\tfrac{5285}{16}, \tfrac{7225}{16}$ , y su determinante es efectivamente $\tfrac{25}{4}$ .)

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b) Como

|A| \neq 0

|B| \neq 0

, podemos despejar. Multiplicamos

A^{3}YB^{-1} = A^{2}

por

(A^{3})^{-1} = A^{-3}

por la izquierda y por

B

por la derecha:

A^{-3}A^{3}\,Y\,B^{-1}B = A^{-3}A^{2}B \;\Longrightarrow\; Y = A^{-3}A^{2}B = A^{-1}B

Así que la matriz

Y

existe y es única. Calculamos

A^{-1}

con la adjunta:

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,\bigl(\operatorname{Adj}(A)\bigr)^{t} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix}

(Comprobación: $AA^{-1} = \begin{pmatrix} 4-3 & -2+2 \\ 6-6 & -3+4 \end{pmatrix} = I$ .)

Y ahora

Y = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 2 & 2 - 2 \\ -\frac{9}{2} + 2 & -\frac{3}{2} + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

Comprobación.

Y = A^{-1}B

equivale a

AY = B

AY = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 5 & 0 + 1 \\ 12 - 10 & 0 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = B

como tenía que salir.

En la simulación la incógnita se llama

X

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Consejo

En a) la trampa es el $5$ : en una matriz $2\times 2$ cada fila se multiplica por $5$ , así que $|5M| = 5^{2}|M| = 25|M|$ , no $5|M|$ . Con ese despiste sale $|X| = \tfrac{5}{4}$ . Y no te pongas a calcular $A^{3}$ ni $X$ : con las propiedades de los determinantes basta.

En b), simplifica antes de operar: $A^{-3}A^{2} = A^{-1}$ . Calcular $A^{3}$ , su inversa y luego multiplicar es correcto pero largo y con muchas ocasiones de equivocarse. Y respeta los lados: $B^{-1}$ está a la derecha de $Y$ , así que $B$ entra por la derecha.