Matemáticas IIMedioProblema · 2 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Castilla-La Mancha · 2026 · Julio

Enunciado

a) (1,5 puntos) Estudia el rango de la siguiente matriz, en función del parámetro real

a

A = \begin{pmatrix} a & a - 1 & a^2 - a \\ a & 1 & a \\ a & 1 & a - 1 \end{pmatrix}

b) (0,5 puntos) ¿Para qué valores de

a

la matriz

A

tiene inversa? Justifica tu respuesta.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ |A| = a(a-2):\ a \neq 0, 2 \Rightarrow \operatorname{rg}(A) = 3; \quad a = 0 \text{ o } a = 2 \Rightarrow \operatorname{rg}(A) = 2}

\boxed{\text{b)}\ A \text{ tiene inversa} \iff a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La matriz es cuadrada de orden 3, así que su rango es 3 exactamente cuando

|A| \neq 0

. Calculamos el determinante como polinomio en

a

, lo factorizamos y vemos qué valores lo anulan.

Para no hacer cuentas de más, usamos las propiedades de los determinantes: la primera columna es toda

a

, así que sacamos

a

factor común; y las filas 2 y 3 se parecen mucho, así que al restarlas aparecen ceros.

Para los valores que anulan el determinante, el rango baja a 2 si encontramos un menor de orden 2 no nulo. Aquí hay uno que no depende de $a$ , lo que resuelve todos los casos de una vez.

El apartado b) sale solo: una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero.

Desarrollo

a) Sacamos

a

factor común de la primera columna:

|A| = a\begin{vmatrix} 1 & a - 1 & a^2 - a \\ 1 & 1 & a \\ 1 & 1 & a - 1 \end{vmatrix}.

Restamos a la fila 3 la fila 2 (

F_3 \to F_3 - F_2

), lo que no cambia el determinante:

|A| = a\begin{vmatrix} 1 & a - 1 & a^2 - a \\ 1 & 1 & a \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}.

Desarrollamos por la tercera fila, que solo tiene un elemento no nulo:

|A| = a\cdot(-1)\cdot\begin{vmatrix} 1 & a - 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -a\,\bigl[1 - (a - 1)\bigr] = -a\,(2 - a) = a\,(a - 2).

|A| = 0 \iff a = 0 \ \text{ o } \ a = 2.

Menor de orden 2. El menor formado por las filas 2 y 3 y las columnas 2 y 3 vale

\begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & a - 1 \end{vmatrix} = (a - 1) - a = -1 \neq 0

para cualquier valor de

a

. Por tanto,

\operatorname{rg}(A) \geq 2

siempre. Con esto:

Si $a \neq 0$ y $a \neq 2$ : $|A| \neq 0$ , luego $\operatorname{rg}(A) = 3$ .
Si $a = 0$ o $a = 2$ : $|A| = 0$ , luego $\operatorname{rg}(A) < 3$ ; como hay un menor de orden 2 no nulo, $\operatorname{rg}(A) = 2$ .

Comprobación de los casos particulares:

a = 0:\ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad a = 2:\ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Con

a = 0

la primera columna es nula, y con

a = 2

las dos primeras filas son iguales: en ambos casos el rango no puede ser 3, y el menor

\begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & a-1 \end{vmatrix} = -1

confirma que es 2. ✓

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero (es decir, si su rango es máximo, 3). Por el apartado a),

|A| = a(a - 2)

, así que

A

tiene inversa si y solo si

a \neq 0

a \neq 2

Consejo

Antes de lanzarte con Sarrus, mira la matriz: una columna con un factor común o dos filas casi iguales te ahorran muchas cuentas y muchos errores de signo con $a^2 - a$ .

En la discusión del rango no basta con decir «si $|A| = 0$ , el rango es 2»: enseña un menor de orden 2 no nulo. En b) la justificación es el criterio $|A| \neq 0$ ; sin ella, el medio punto no se da entero.