Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio (solapamiento)

a) Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & -1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ -1 & 1 & \alpha \end{pmatrix},\qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \alpha & 1 & -1 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 & 1 \\ -1 & 1 & \alpha & 2 \end{array}\right)$$Determinante de $A$. Por Sarrus:$$|A| = \alpha^3 - 1 - 1 - \alpha - \alpha - \alpha = \alpha^3 - 3\alpha - 2$$Factorizar. $\alpha = -1$ es raíz ($-1 + 3 - 2 = 0$); por Ruffini, $\alpha^3 - 3\alpha - 2 = (\alpha + 1)(\alpha^2 - \alpha - 2)$, y el segundo factor vuelve a tener las raíces $-1$ y $2$:$$|A| = (\alpha + 1)^2(\alpha - 2) = 0 \iff \alpha = -1 \ \text{o}\ \alpha = 2$$Caso $\alpha \neq -1$ y $\alpha \neq 2$. $|A| \neq 0$, así que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $\alpha = -1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right)$$Las tres filas de $A$ son proporcionales a $(-1, 1, -1)$, así que $\text{rg}(A) = 1$. En la ampliada, el menor $\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ (columnas 1 y 4), luego $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$: sistema incompatible. (Se ve también a simple vista: la primera ecuación dice $-x + y - z = 0$ y la tercera, $-x + y - z = 2$.) Los criterios oficiales dan $\text{rg}(A) = 2$ también en este caso, pero es una errata: con las tres filas proporcionales, el rango es 1. La conclusión (incompatible) no cambia.

Caso $\alpha = 2$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 2 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$ y $|A| = 0$, así que $\text{rg}(A) = 2$. En la ampliada, con las columnas 1, 2 y 4:$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 8 - 1 + 0 - 0 - 2 - 2 = 3 \neq 0 \;\Rightarrow\; \text{rg}(A^*) = 3$$$\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$: sistema incompatible.

b) Solo hay solución si $\alpha \neq -1$ y $\alpha \neq 2$, y es única. Por Cramer, con $|A| = (\alpha+1)^2(\alpha-2)$:

Incógnita $x$.$$|A_x| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 2 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = 0 + 2 - 1 + 2\alpha - 0 - \alpha = \alpha + 1$$$$x = \frac{\alpha + 1}{(\alpha+1)^2(\alpha-2)} = \frac{1}{(\alpha+1)(\alpha-2)}$$Incógnita $y$.$$|A_y| = \begin{vmatrix} \alpha & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & \alpha \end{vmatrix} = \alpha^2 + 0 - 2 - 1 - 2\alpha - 0 = \alpha^2 - 2\alpha - 3 = (\alpha + 1)(\alpha - 3)$$$$y = \frac{(\alpha+1)(\alpha-3)}{(\alpha+1)^2(\alpha-2)} = \frac{\alpha - 3}{(\alpha+1)(\alpha-2)}$$Incógnita $z$.$$|A_z| = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\alpha^2 - 1 + 0 - 0 - \alpha - 2 = 2\alpha^2 - \alpha - 3 = (\alpha + 1)(2\alpha - 3)$$$$z = \frac{(\alpha+1)(2\alpha-3)}{(\alpha+1)^2(\alpha-2)} = \frac{2\alpha - 3}{(\alpha+1)(\alpha-2)}$$Comprobación con $\alpha = 0$. Sale $x = -\frac{1}{2}$, $y = \frac{3}{2}$, $z = \frac{3}{2}$, y el sistema queda $y - z = 0$, $x + z = 1$, $-x + y = 2$: se cumplen las tres ✓.