Sistemas de ecuaciones

El sistema. Como $mX = mIX$,$$AX - mX = B \;\Longleftrightarrow\; (A - mI)\,X = B, \qquad A - mI = \begin{pmatrix} 1-m & 2 & 1 \\ 0 & 3-m & 1 \\ -2 & 0 & -m \end{pmatrix}$$que en ecuaciones es$$\begin{cases} (1-m)\,x + 2y + z = 3 \\ (3-m)\,y + z = 3 \\ -2x - m\,z = 1 \end{cases}$$Determinante de la matriz de coeficientes. Desarrollando por la primera columna:$$|A - mI| = (1-m)\left|\begin{array}{cc} 3-m & 1 \\ 0 & -m \end{array}\right| + (-2)\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3-m & 1 \end{array}\right| = (1-m)(3-m)(-m) - 2\bigl(2 - (3-m)\bigr)$$$$= m(m-1)(3-m) - 2(m-1) = (m-1)\bigl(3m - m^{2} - 2\bigr) = -(m-1)(m^{2} - 3m + 2)$$y como $m^{2} - 3m + 2 = (m-1)(m-2)$,$$|A - mI| = -(m-1)^{2}(m-2)$$Se anula para $m = 1$ y $m = 2$: son los valores que hay que estudiar aparte.

Caso $m \neq 1$ y $m \neq 2$. $|A - mI| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A - mI) = 3 = \operatorname{rg}(A - mI \mid B) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $m = 1$.$$(A - I \mid B) = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right)$$Las dos primeras filas son iguales (también en la columna de términos independientes), así que la ampliada tiene como mucho rango 2. Y el menor$$\left|\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{array}\right| = 0 + 4 = 4 \neq 0$$da rango 2 a las dos matrices: $\operatorname{rg}(A - I) = \operatorname{rg}(A - I \mid B) = 2 < 3$. Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

Aunque no se pide, se resuelve enseguida: de $2y + z = 3$ y $-2x - z = 1$, con $y = \lambda$, queda $z = 3 - 2\lambda$ y $x = \lambda - 2$, es decir, $(x, y, z) = (\lambda - 2,\ \lambda,\ 3 - 2\lambda)$.

Caso $m = 2$.$$(A - 2I \mid B) = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right)$$$|A - 2I| = 0$ y el menor $\left|\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right| = -1 \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A - 2I) = 2$. Para la ampliada, orlamos ese menor con la columna de términos independientes:$$\left|\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right| = -1(1 - 0) - 2(0 + 6) + 3(0 + 2) = -1 - 12 + 6 = -7 \neq 0$$así que $\operatorname{rg}(A - 2I \mid B) = 3 \neq 2 = \operatorname{rg}(A - 2I)$: sistema incompatible (no tiene solución).

En la simulación el parámetro se llama $k$ (es nuestra $m$); con el deslizador se ve cómo cambia la clasificación en $k = 1$ y $k = 2$: