Sistemas de ecuaciones

a) Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 7 & 3 & 3 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 7 & 3 & 3 & 15 \\ 1 & -1 & -1 & 5 \end{array}\right)$$Rango de $A$. La segunda y la tercera columnas son iguales, así que $|A| = 0$ y $\operatorname{rg}(A) < 3$. Un menor de orden $2$ no nulo:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 7 = -4 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A) = 2$$Rango de $A^{*}$. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 7 & 3 & 15 \\ 1 & -1 & 5 \end{vmatrix} = 1\,(15 + 15) - 1\,(35 - 15) + 1\,(-7 - 3) = 30 - 20 - 10 = 0$$(El otro orlado posible usa la columna de $z$, igual a la de $y$, y también es nulo.) Por tanto $\operatorname{rg}(A^{*}) = 2$.

Clasificación. $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 =$ número de incógnitas: el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones, dependientes de un parámetro).

Resolución. Sumando la primera y la tercera ecuaciones, $y$ y $z$ se van:$$(x + y + z) + (x - y - z) = 1 + 5 \;\Longrightarrow\; 2x = 6 \;\Longrightarrow\; x = 3$$Llevándolo a la primera: $3 + y + z = 1 \Rightarrow y + z = -2$. La segunda ecuación es redundante: $7\cdot 3 + 3(y + z) = 21 - 6 = 15$. Tomando $y = \lambda$:$$(x, y, z) = (3,\ \lambda,\ -2 - \lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación (para cualquier $\lambda$): $3 + \lambda - 2 - \lambda = 1$; $\ 21 + 3\lambda - 6 - 3\lambda = 15$; $\ 3 - \lambda + 2 + \lambda = 5$.

b) Soluciones con $y + z + 2 = 0$. En la solución general,$$y + z + 2 = \lambda + (-2 - \lambda) + 2 = 0 \quad \text{para todo } \lambda$$Así que sí: no solo existe alguna, sino que todas las soluciones del sistema la verifican. Es lógico, porque $y + z = -2$ es justo la condición que se obtuvo al resolver: la ecuación $y + z + 2 = 0$ es combinación lineal de las del sistema (por ejemplo, la primera menos la tercera, dividida entre $2$: $y + z = -2$). Añadirla al sistema no cambia sus soluciones.