Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2026 · Julio

Enunciado

Ejercicio 3.1 (bloque con optatividad 1). Una familia va al mercado semanalmente y compra tres tipos de alimentos: verdura, carne y pescado. El año pasado, en el que gastó

115

€ semanales, observó que pagaba el doble en el puesto del pescado que en el de la verdura. En

2026

se ha notado un incremento de precios pues ahora gasta

19

€ más que el año pasado por la misma compra, comprobando que la verdura ha subido un

12\,\%

, la carne un

15\,\%

y el pescado un

20\,\%

. Calcula el precio que la familia paga semanalmente en

2026

, por cada tipo de alimento.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Año pasado: } 25,\ 40 \text{ y } 50 \text{ euros} \qquad \text{En 2026: verdura } 28,\ \text{carne } 46,\ \text{pescado } 60 \text{ euros}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La pregunta es por los precios de

2026

, pero todos los datos están referidos al año pasado: el gasto total, la relación entre pescado y verdura y las subidas en porcentaje. Lo cómodo es tomar como incógnitas lo que la familia pagaba el año pasado y, al final, aplicar a cada uno su subida.

Las tres frases del enunciado dan tres ecuaciones. La más delicada es la de la subida: los

19

€ de más son la suma de lo que ha subido cada puesto,

12\,\%

de la verdura,

15\,\%

de la carne y

20\,\%

del pescado.

Desarrollo

Incógnitas. Lo que la familia pagaba el año pasado cada semana (en euros):

$x$ : verdura, $\quad y$ : carne, $\quad z$ : pescado.

Planteamiento.

Gasto total del año pasado: $x + y + z = 115$ .
El pescado costaba el doble que la verdura: $z = 2x$ , es decir, $2x - z = 0$ .
La subida total es de $19$ €: $0{,}12\,x + 0{,}15\,y + 0{,}20\,z = 19$ . Multiplicando por $100$ : $12x + 15y + 20z = 1900$ .

(Es lo mismo que decir que en

2026

se gastan

1{,}12x + 1{,}15y + 1{,}20z = 115 + 19 = 134

€; restando la primera ecuación sale la de arriba.)

\begin{cases} x + y + z = 115 \\ 2x - z = 0 \\ 12x + 15y + 20z = 1900 \end{cases}

¿Tiene solución única? El determinante de la matriz de coeficientes es

\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 12 & 15 & 20 \end{array}\right| = 1\cdot(0 + 15) - 1\cdot(40 + 12) + 1\cdot(30 - 0) = 15 - 52 + 30 = -7 \neq 0

así que el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada valen

3

: por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado.

Resolución. De la segunda ecuación,

z = 2x

. Sustituyendo en la primera:

x + y + 2x = 115 \;\Longrightarrow\; y = 115 - 3x

Y en la tercera:

12x + 15(115 - 3x) + 20\cdot 2x = 1900 \;\Longrightarrow\; 12x + 1725 - 45x + 40x = 1900 \;\Longrightarrow\; 7x = 175 \;\Longrightarrow\; x = 25

Luego

y = 115 - 75 = 40

z = 2\cdot 25 = 50

. El año pasado pagaba

25

€ de verdura,

40

€ de carne y

50

€ de pescado.

Precios de 2026. Aplicamos a cada uno su subida:

\text{Verdura: } 25\cdot 1{,}12 = 28 \qquad \text{Carne: } 40\cdot 1{,}15 = 46 \qquad \text{Pescado: } 50\cdot 1{,}20 = 60

Comprobación.

25 + 40 + 50 = 115

✓;

50 = 2\cdot 25

✓; y en

2026

28 + 46 + 60 = 134 = 115 + 19

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee bien qué se pregunta: los precios de 2026. Quien se queda en $(25, 40, 50)$ ha resuelto el sistema pero no ha contestado; los criterios reservan la parte final de la nota para pasar a los precios de este año.

El fallo de planteamiento más común es escribir $0{,}12x + 0{,}15y + 0{,}20z = 134$ : el $134$ es el gasto total nuevo ( $1{,}12x + \dots$ ), mientras que con los porcentajes solos se obtiene la subida, $19$ €. Y el «doble» va en el sentido correcto: $z = 2x$ , no $x = 2z$ .