Sistemas de ecuaciones

Planteamiento. Sean $x$, $y$, $z$ los precios (en €) sin descuento de un producto de tipo $A$, $B$ y $C$.

• Con los descuentos, uno de cada tipo cuesta $66$ €:

$$0{,}9x + 0{,}8y + 0{,}8z = 66 \;\Longrightarrow\; 9x + 8y + 8z = 660$$

• Sin descuento, $3$ de tipo $A$ y $4$ de tipo $B$ cuestan $140$ €:

$$3x + 4y = 140$$a) Precio de 3 productos de tipo A y 8 de tipo C.

Se pide $3x + 8z$. Multiplicamos la segunda ecuación por $2$ para que $y$ tenga el mismo coeficiente que en la primera:$$6x + 8y = 280$$y la restamos de la primera:$$(9x + 8y + 8z) - (6x + 8y) = 660 - 280 \;\Longrightarrow\; 3x + 8z = 380$$Así que $3$ productos de tipo $A$ y $8$ de tipo $C$ cuestan $380$ €, aunque con estos datos no se puedan conocer los precios por separado (el sistema tiene rango $2$ con tres incógnitas: compatible indeterminado).

b) Precio de cada producto con la condición $z = 2x$.

Añadimos la ecuación $z = 2x$, es decir, $-2x + z = 0$:$$\begin{cases} 9x + 8y + 8z = 660 \\ 3x + 4y = 140 \\ -2x + z = 0 \end{cases}$$El determinante de la matriz de coeficientes es$$\left|\begin{array}{ccc} 9 & 8 & 8 \\ 3 & 4 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right| = 36 + 0 + 0 - (-64) - 0 - 24 = 76 \neq 0$$así que el sistema es compatible determinado (Rouché-Frobenius). Lo resolvemos por sustitución: con $z = 2x$ en la primera ecuación,$$9x + 8y + 16x = 660 \;\Longrightarrow\; 25x + 8y = 660$$y restando $2\cdot(3x + 4y = 140)$, es decir, $6x + 8y = 280$:$$19x = 380 \;\Longrightarrow\; x = 20$$Entonces$$4y = 140 - 3\cdot 20 = 80 \;\Longrightarrow\; y = 20, \qquad z = 2\cdot 20 = 40$$Comprobación. Con descuento: $0{,}9\cdot 20 + 0{,}8\cdot 20 + 0{,}8\cdot 40 = 18 + 16 + 32 = 66$ ✓. Sin descuento: $3\cdot 20 + 4\cdot 20 = 140$ ✓. Y $3\cdot 20 + 8\cdot 40 = 380$, como en a) ✓.