Durante la semana cultural de un centro docente, el Departamento de Matemáticas organiza un juego de azar por rondas en el que los alumnos pueden obtener puntos canjeables por pequeños premios. En cada ronda se lanza primero una moneda y, a continuación, un dado de seis caras. El resultado de la moneda combinado con el valor obtenido por el dado determina la condición para ganar la ronda: - Si la moneda sale cara, el alumno gana la ronda si el número obtenido en el dado es mayor o igual que 5. - Si la moneda sale cruz, el alumno gana la ronda si el número obtenido en el dado es par. Cada ronda es independiente y sigue exactamente este mismo procedimiento. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que, en una ronda cualquiera, el alumno gane. (0.5 puntos) b) Sabiendo que en una ronda el alumno ha ganado, ¿cuál es la probabilidad de que en el lanzamiento de la moneda haya salido cara? (1 punto) c) Si se utiliza una moneda trucada tal que al lanzarla siempre se obtiene cara, y se realizan exactamente 7 rondas del juego, calcular la probabilidad de que el alumno gane exactamente 5 veces. (1 punto) (Se adjunta la tabla de la distribución binomial.)

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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio (solapamiento)

Enunciado

Durante la semana cultural de un centro docente, el Departamento de Matemáticas organiza un juego de azar por rondas en el que los alumnos pueden obtener puntos canjeables por pequeños premios. En cada ronda se lanza primero una moneda y, a continuación, un dado de seis caras. El resultado de la moneda combinado con el valor obtenido por el dado determina la condición para ganar la ronda:

Si la moneda sale cara, el alumno gana la ronda si el número obtenido en el dado es mayor o igual que 5.
Si la moneda sale cruz, el alumno gana la ronda si el número obtenido en el dado es par.

Cada ronda es independiente y sigue exactamente este mismo procedimiento. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que, en una ronda cualquiera, el alumno gane. (0.5 puntos)

b) Sabiendo que en una ronda el alumno ha ganado, ¿cuál es la probabilidad de que en el lanzamiento de la moneda haya salido cara? (1 punto)

c) Si se utiliza una moneda trucada tal que al lanzarla siempre se obtiene cara, y se realizan exactamente 7 rondas del juego, calcular la probabilidad de que el alumno gane exactamente 5 veces. (1 punto)

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial.)

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Resultado

\boxed{\text{a) } P(G) = \tfrac{5}{12} \approx 0{,}4167}

\boxed{\text{b) } P(C\mid G) = \tfrac{2}{5} = 0{,}4}

\boxed{\text{c) } Y\sim B\left(7, \tfrac{1}{3}\right):\ P(Y = 5) = \tfrac{28}{729} \approx 0{,}0384}

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Estrategia

Cada ronda es un experimento en dos etapas: primero la moneda decide qué regla se aplica y después el dado decide si se gana. Es un diagrama de árbol de dos niveles:

en a) sumamos las dos ramas que acaban en «gana» (probabilidad total);
en b) damos la vuelta a la condición: sabemos que ganó y preguntamos por la moneda (Bayes);
en c) la moneda ya no influye (siempre cara), así que cada ronda se gana con la probabilidad de sacar 5 o 6, y contar rondas ganadas en 7 rondas independientes es una binomial.

Desarrollo

a) Sucesos. Llamamos

C

= «sale cara»,

X

= «sale cruz» y

G

= «el alumno gana la ronda».

Datos del árbol. La moneda es normal, así que

P(C) = P(X) = \frac{1}{2}

. Con cara se gana sacando 5 o 6 (2 de 6 caras); con cruz, sacando 2, 4 o 6 (3 de 6):

P(G\mid C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},\qquad P(G\mid X) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Probabilidad total. Se gana por la rama de la cara o por la de la cruz:

P(G) = P(C)\,P(G\mid C) + P(X)\,P(G\mid X) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167

b) Teorema de Bayes. De todas las rondas ganadas, ¿qué parte viene de la rama de la cara?

P(C\mid G) = \frac{P(C)\,P(G\mid C)}{P(G)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0{,}4

Tiene sentido que sea menor que

\frac{1}{2}

: con cara es más difícil ganar que con cruz, así que entre las rondas ganadas hay menos de cara.

c) La variable. Con la moneda trucada sale siempre cara, así que en cada ronda se gana si el dado da 5 o 6:

p = \frac{1}{3}

. Las rondas son independientes y se repiten 7 veces, de modo que

Y = \text{número de rondas ganadas} \sim B\!\left(n = 7,\ p = \tfrac{1}{3}\right)

Probabilidad pedida.

P(Y = 5) = \binom{7}{5}\left(\frac{1}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^2 = 21\cdot\frac{1}{243}\cdot\frac{4}{9} = \frac{84}{2187} = \frac{28}{729} \approx 0{,}0384

Con la tabla. La tabla da la función de distribución

F(k) = P(Y\le k)

; para

n = 7

p = \frac{1}{3}

P(Y = 5) = F(5) - F(4) = 0{,}9931 - 0{,}9547 = 0{,}0384

Coincide con la cuenta ✓.

Consejo

Define los sucesos y la variable con palabras y di por qué es binomial (pruebas independientes, misma probabilidad de éxito): el corrector lo pide en el apartado c).

Ojo con la tabla: da probabilidades acumuladas, $P(Y\le k)$ . Para «exactamente 5» hay que restar $F(5) - F(4)$ ; leer directamente el valor de $k = 5$ es el error típico.