Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Andalucía · 2026 · Junio

Enunciado

Ejercicio 4.2 (bloque con optatividad 2). Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay

2

monedas de oro y

3

monedas de plata. En la segunda hay

6

monedas de oro y

3

de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa.

a) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro, sabiendo que la moneda que se extrajo de la primera bolsa era de plata.

b) [1,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la moneda que se extrajo de la primera bolsa fuera de plata, sabiendo que la segunda moneda es de oro.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } P(O_2 \mid P_1) = \frac{3}{5} = 0{,}6 \qquad \text{b) } P(P_1 \mid O_2) = \frac{9}{16} = 0{,}5625\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un experimento en dos etapas, el terreno del diagrama de árbol: lo que sale de la primera bolsa cambia la composición de la segunda, que pasa a tener

10

monedas.

Conviene nombrar los sucesos antes de nada (los criterios lo puntúan):

$O_1$ , $P_1$ : la moneda de la primera bolsa es de oro / de plata.
$O_2$ : la moneda extraída de la segunda bolsa es de oro.

En a) se pide

P(O_2 \mid P_1)

: es una probabilidad de la segunda rama del árbol, que se lee directamente contando monedas.

En b) se pide al revés,

P(P_1 \mid O_2)

: sabemos el resultado final y preguntamos por la causa. Eso es el teorema de Bayes, y su denominador

P(O_2)

sale del teorema de la probabilidad total.

Desarrollo

Primera etapa (bolsa 1:

2

de oro y

3

de plata,

5

en total):

P(O_1) = \frac{2}{5}, \qquad P(P_1) = \frac{3}{5}

Segunda etapa (bolsa 2:

6

de oro y

3

de plata, más la que llega;

10

en total):

Si llegó una de oro, hay $7$ de oro y $3$ de plata: $P(O_2 \mid O_1) = \dfrac{7}{10}$ .
Si llegó una de plata, hay $6$ de oro y $4$ de plata: $P(O_2 \mid P_1) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ .

El árbol queda así:

\begin{array}{lll} O_1\ \left(\tfrac{2}{5}\right) & \longrightarrow\ O_2\ \left(\tfrac{7}{10}\right): & P(O_1 \cap O_2) = \tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{7}{10} = \tfrac{14}{50} \\[4pt] & \longrightarrow\ \overline{O_2}\ \left(\tfrac{3}{10}\right): & P(O_1 \cap \overline{O_2}) = \tfrac{6}{50} \\[4pt] P_1\ \left(\tfrac{3}{5}\right) & \longrightarrow\ O_2\ \left(\tfrac{6}{10}\right): & P(P_1 \cap O_2) = \tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{6}{10} = \tfrac{18}{50} \\[4pt] & \longrightarrow\ \overline{O_2}\ \left(\tfrac{4}{10}\right): & P(P_1 \cap \overline{O_2}) = \tfrac{12}{50} \end{array}

a) Es una probabilidad condicionada: sabiendo que la primera fue de plata, la segunda bolsa tiene

6

monedas de oro entre

10

P(O_2 \mid P_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0{,}6

(Equivalente, por la definición:

P(O_2 \mid P_1) = \dfrac{P(P_1 \cap O_2)}{P(P_1)} = \dfrac{18/50}{3/5} = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}

.)

b) Nos piden

P(P_1 \mid O_2)

. Primero, por el teorema de la probabilidad total:

P(O_2) = P(O_1)\,P(O_2 \mid O_1) + P(P_1)\,P(O_2 \mid P_1) = \frac{2}{5}\cdot\frac{7}{10} + \frac{3}{5}\cdot\frac{6}{10} = \frac{14}{50} + \frac{18}{50} = \frac{32}{50} = \frac{16}{25}

Y por el teorema de Bayes:

P(P_1 \mid O_2) = \frac{P(P_1)\,P(O_2 \mid P_1)}{P(O_2)} = \frac{\dfrac{18}{50}}{\dfrac{32}{50}} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16} = 0{,}5625

Control de sentido: sin información,

P(P_1) = \frac{3}{5} = 0{,}6

. Saber que la segunda moneda es de oro rebaja un poco esa probabilidad (

0{,}5625 < 0{,}6

), lo lógico: una moneda de plata en la segunda bolsa hace algo menos probable sacar oro.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee con calma qué va detrás del "sabiendo que": en a) la condición es la primera moneda (se lee en el árbol) y en b) es la segunda (hace falta Bayes). Confundir $P(O_2 \mid P_1)$ con $P(P_1 \mid O_2)$ o con $P(P_1 \cap O_2)$ es el error más caro.

Y no olvides que la segunda bolsa tiene $10$ monedas tras recibir la primera, no $9$ : si usas $\frac{6}{9}$ todo lo demás sale mal. Deja escrita la fórmula de Bayes con los sucesos nombrados; los criterios puntúan identificarla, no solo el número.