Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Andalucía · 2026 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 4.2 (bloque con optatividad 2). Dos laboratorios, Virex y Borez, elaboran las dosis de la vacuna contra la gripe A. Para mejorar la efectividad de dicha vacuna necesitamos dos inoculaciones. En la farmacia disponen de seis dosis de Virex y dos de Borez. Se sabe que las dosis se sirven de manera aleatoria y consecutiva.

a) [1,25 puntos] Halla la probabilidad de que la segunda dosis sea del laboratorio Virex.

b) [1,25 puntos] Si la segunda dosis es del laboratorio Virex, halla la probabilidad de que la primera hubiese sido de Borez.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ P(V_{2}) = \frac{3}{4} = 0{,}75 \qquad \text{b)}\ P(B_{1} \mid V_{2}) = \frac{2}{7} \approx 0{,}2857\;}

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Estrategia

Hay

8

dosis (

6

de Virex y

2

de Borez) y se sirven dos seguidas sin reemplazamiento: lo que salga en la primera cambia la composición para la segunda. Es un experimento en dos etapas, perfecto para un diagrama de árbol: la primera dosis parte el espacio en "Virex" o "Borez", y de cada rama sale la segunda.

En a) la segunda dosis puede ser de Virex por dos caminos, así que se suman con el teorema de la probabilidad total. En b) se conoce lo que pasó en la segunda etapa y se pregunta por la primera: es la "pregunta hacia atrás" del teorema de Bayes (la corrección da 0,5 puntos por reconocer cada teorema).

Desarrollo

Sucesos.

V_{1}

B_{1}

: la primera dosis es de Virex o de Borez.

V_{2}

B_{2}

: lo mismo para la segunda.

Árbol. Al principio hay

6

de Virex y

2

de Borez entre

8

P(V_{1}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}, \qquad P(B_{1}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

Para la segunda quedan

7

dosis:

Si la primera fue de Virex, quedan $5$ de Virex y $2$ de Borez: $P(V_{2} \mid V_{1}) = \frac{5}{7}$ , $P(B_{2} \mid V_{1}) = \frac{2}{7}$ .
Si la primera fue de Borez, quedan $6$ de Virex y $1$ de Borez: $P(V_{2} \mid B_{1}) = \frac{6}{7}$ , $P(B_{2} \mid B_{1}) = \frac{1}{7}$ .

\begin{array}{c|c|c} \text{Rama} & P(\text{primera})\cdot P(\text{segunda} \mid \text{primera}) & \text{Probabilidad} \\ \hline V_{1} \cap V_{2} & \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{7} & \frac{15}{28} \\ V_{1} \cap B_{2} & \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{7} & \frac{6}{28} \\ B_{1} \cap V_{2} & \frac{1}{4}\cdot\frac{6}{7} & \frac{6}{28} \\ B_{1} \cap B_{2} & \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{7} & \frac{1}{28} \end{array}

Las cuatro ramas suman

\frac{15 + 6 + 6 + 1}{28} = 1

✓.

a) Probabilidad total.

\{V_{1}, B_{1}\}

es un sistema completo de sucesos, así que

P(V_{2}) = P(V_{1})\,P(V_{2} \mid V_{1}) + P(B_{1})\,P(V_{2} \mid B_{1}) = \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{7} + \frac{1}{4}\cdot\frac{6}{7} = \frac{15}{28} + \frac{6}{28} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4} = 0{,}75

Coincide con

P(V_{1})

, y tiene sentido: sin saber qué salió la primera vez, cualquier posición de la cola tiene la misma probabilidad de ser de Virex,

\frac{6}{8}

.

b) Teorema de Bayes.

P(B_{1} \mid V_{2}) = \frac{P(B_{1} \cap V_{2})}{P(V_{2})} = \frac{P(B_{1})\,P(V_{2} \mid B_{1})}{P(V_{2})} = \frac{\frac{6}{28}}{\frac{21}{28}} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7} \approx 0{,}2857

Comprobación: el complementario es

P(V_{1} \mid V_{2}) = \frac{15/28}{21/28} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}

, y

\frac{2}{7} + \frac{5}{7} = 1

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Las dosis se sirven sin reemplazamiento: en la segunda etapa quedan $7$ dosis, no $8$ . Usar $\frac{6}{8}$ en todas las ramas es el error más habitual y hunde los dos apartados.

Nombra los teoremas (probabilidad total en a), Bayes en b)): la corrección da 0,5 puntos por reconocer cada uno. Y en b) el denominador es el resultado de a): no lo recalcules de otra manera.