Ejercicio 4.2 (bloque con optatividad 2). Tres máquinas A, B y C, producen el 45\,\%, 30\,\% y 25\,\%, respectivamente, del total de los coches que se producen en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3\,\%, 4\,\% y 5\,\%, respectivamente. a) [1,25 puntos] Seleccionamos un coche al azar. Calcula la probabilidad de que sea defectuoso. b) [1,25 puntos] Tomamos, al azar, un coche y resulta ser defectuoso. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido dicho coche?

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Andalucía · 2026 · Julio

Enunciado

Ejercicio 4.2 (bloque con optatividad 2). Tres máquinas A, B y C, producen el

45\,\%

30\,\%

25\,\%

, respectivamente, del total de los coches que se producen en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del

3\,\%

4\,\%

5\,\%

, respectivamente.

a) [1,25 puntos] Seleccionamos un coche al azar. Calcula la probabilidad de que sea defectuoso.

b) [1,25 puntos] Tomamos, al azar, un coche y resulta ser defectuoso. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido dicho coche?

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad P(D) = 0{,}038 = \frac{19}{500}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad P(A \mid D) = \frac{27}{76} \approx 0{,}355 > P(C \mid D) = \frac{25}{76} > P(B \mid D) = \frac{6}{19}:\ \text{la máquina A}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el esquema clásico de probabilidad total y Bayes. Las tres máquinas forman una partición (cada coche sale de una y solo una), y de cada una conocemos la probabilidad de que un coche suyo sea defectuoso: son probabilidades condicionadas,

P(D \mid A)

, etc.

En a) se suman los tres caminos del árbol que acaban en «defectuoso». En b) la información va al revés: sabemos que el coche es defectuoso y nos preguntamos de qué máquina viene. Eso es Bayes, y hay que calcular las tres probabilidades para poder compararlas.

Desarrollo

Sucesos.

$A$ , $B$ , $C$ : el coche lo ha producido la máquina A, B o C.
$D$ : el coche es defectuoso.

Datos.

P(A) = 0{,}45, \qquad P(B) = 0{,}30, \qquad P(C) = 0{,}25

P(D \mid A) = 0{,}03, \qquad P(D \mid B) = 0{,}04, \qquad P(D \mid C) = 0{,}05

En forma de árbol: de la raíz salen tres ramas (

A

0{,}45

;

B

0{,}30

;

C

0{,}25

) y de cada una, otras dos (

D

\overline{D}

), con las probabilidades de defecto de esa máquina.

a) Por el teorema de la probabilidad total:

P(D) = P(A)\,P(D \mid A) + P(B)\,P(D \mid B) + P(C)\,P(D \mid C)

P(D) = 0{,}45\cdot 0{,}03 + 0{,}30\cdot 0{,}04 + 0{,}25\cdot 0{,}05 = 0{,}0135 + 0{,}012 + 0{,}0125 = 0{,}038

Es decir, el

3{,}8\,\%

de los coches son defectuosos (

P(D) = \frac{19}{500}

).

b) Por el teorema de Bayes, para cada máquina:

P(A \mid D) = \frac{P(A)\,P(D \mid A)}{P(D)} = \frac{0{,}0135}{0{,}038} = \frac{27}{76} \approx 0{,}3553

P(B \mid D) = \frac{P(B)\,P(D \mid B)}{P(D)} = \frac{0{,}012}{0{,}038} = \frac{6}{19} = \frac{24}{76} \approx 0{,}3158

P(C \mid D) = \frac{P(C)\,P(D \mid C)}{P(D)} = \frac{0{,}0125}{0{,}038} = \frac{25}{76} \approx 0{,}3289

Comprobación:

\frac{27}{76} + \frac{24}{76} + \frac{25}{76} = 1

, como debe ser: el coche defectuoso viene seguro de alguna de las tres.

La mayor es

P(A \mid D)

: la máquina A es la que tiene más probabilidad de haber producido el coche defectuoso. Llama la atención porque es la que menos defectos tiene (

3\,\%

), pero produce casi la mitad de los coches, y eso pesa más.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No contestes «la C» por ser la que más defectos tiene: confunde $P(D \mid C)$ con $P(C \mid D)$ . La pregunta es a posteriori, y para responderla hay que hacer las tres cuentas de Bayes; los criterios dan un cuarto de punto por cada una.

Escribe los sucesos al principio ( $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ) y el planteamiento con la fórmula antes de los números: también puntúan. Como las tres comparten el denominador $P(D)$ , te basta comparar los numeradores para saber cuál gana, y la suma $1$ te confirma las cuentas.

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