Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio

También trata: Derivadas y aplicaciones

Enunciado

Un decorador desea pintar una pared rectangular de 12 metros de largo por 3 de alto. Para ello supone que la esquina inferior izquierda de la pared corresponde al origen de coordenadas de un plano y pinta en la pared la curva de ecuación

f(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{9}\right) + 2.

A continuación, el decorador colorea en rojo la parte de la pared que queda por encima de la curva y en verde la que queda por debajo. Se pide:

a) Dibujar la parte de la curva anterior que corresponde a la pared, detallando los cortes con los ejes, los extremos absolutos, y la monotonía de la función en el intervalo

[0, 12]

. (1.25 puntos)

b) Calcular el área de la pared que tiene color verde y la que tiene color rojo. (1 punto)

c) La parte verde se pinta usando botes de pintura capaces de cubrir 3 metros cuadrados cada uno. ¿Cuál es el mínimo número de botes que vamos a necesitar para pintar la parte verde? (0.25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Corta el eje Y en

(0, 3)

y no corta el eje X. Decrece en

(0, 9)

y crece en

(9, 12)

. Máximo absoluto

(0, 3)

, mínimo absoluto

(9, 1)

; termina en

(12;\ 1{,}5)

.

b) Verde:

24 - \frac{9\sqrt 3}{2\pi} \approx 21{,}52\ \text{m}^2

. Rojo:

12 + \frac{9\sqrt 3}{2\pi} \approx 14{,}48\ \text{m}^2

.

c) 8 botes.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La pared es el rectángulo

[0, 12]\times[0, 3]

y la curva la parte en dos.

En a) estudiamos $f$ en $[0, 12]$ : como el coseno oscila entre $-1$ y $1$ , $f$ oscila entre 1 y 3, así que la curva queda dentro de la pared y nunca toca el suelo. La monotonía sale del signo de $f'$ y los extremos absolutos, de comparar los críticos con los extremos del intervalo.
En b) la parte verde es el recinto entre la curva y el eje X: $\int_0^{12} f(x)\,dx$ . La roja es el resto de la pared: $36$ menos la verde.
En c), se divide el área verde entre 3 y se redondea hacia arriba.

Desarrollo

a) Derivada. Por la regla de la cadena:

f'(x) = -\frac{\pi}{9}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{9}\right)

Puntos críticos en $[0, 12]$ . Para

x\in[0, 12]

, el ángulo

\frac{\pi x}{9}

recorre

\left[0, \frac{4\pi}{3}\right]

, y en ese tramo el seno se anula en

0

y en

\pi

, es decir, en

x = 0

x = 9

.

Monotonía.

En $(0, 9)$ : $\frac{\pi x}{9}\in(0, \pi)$ , el seno es positivo y $f' < 0$ : $f$ decrece.
En $(9, 12)$ : $\frac{\pi x}{9}\in\left(\pi, \frac{4\pi}{3}\right)$ , el seno es negativo y $f' > 0$ : $f$ crece.

Extremos absolutos.

f

es continua en

[0, 12]

(Weierstrass): se comparan los críticos y los extremos del intervalo.

f(0) = \cos 0 + 2 = 3,\qquad f(9) = \cos\pi + 2 = 1,\qquad f(12) = \cos\frac{4\pi}{3} + 2 = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}

Máximo absoluto en

(0, 3)

y mínimo absoluto en

(9, 1)

.

Cortes con los ejes. Con el eje Y:

(0, 3)

. Con el eje X:

f(x) = 0

exigiría

\cos\left(\frac{\pi x}{9}\right) = -2

, imposible. No corta el eje X: como

1 \le f(x) \le 3

, la curva va siempre por dentro de la pared.

Dibujo. La curva empieza en la esquina superior izquierda

(0, 3)

, baja hasta

(9, 1)

y vuelve a subir hasta

(12;\ 1{,}5)

Pared rectangular de 12 por 3 con la curva y = cos(πx/9) + 2: sale de la esquina (0, 3), baja hasta el mínimo (9, 1) y sube hasta (12; 1,5). Por debajo de la curva, la zona verde; por encima, la roja

b) Área verde. Es el recinto entre la curva y el eje X en

[0, 12]

(

f > 0

en todo el tramo):

A_{\text{verde}} = \int_0^{12}\left[\cos\left(\frac{\pi x}{9}\right) + 2\right]dx = \left[\frac{9}{\pi}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{9}\right) + 2x\right]_0^{12}

Regla de Barrow.

A_{\text{verde}} = \frac{9}{\pi}\operatorname{sen}\frac{4\pi}{3} + 24 - 0 = \frac{9}{\pi}\left(-\frac{\sqrt 3}{2}\right) + 24 = 24 - \frac{9\sqrt 3}{2\pi} \approx 21{,}519\ \text{m}^2

Área roja. El resto de la pared, que mide

12\cdot 3 = 36\ \text{m}^2

A_{\text{roja}} = 36 - A_{\text{verde}} = 12 + \frac{9\sqrt 3}{2\pi} \approx 14{,}481\ \text{m}^2

(Es lo mismo que

\int_0^{12}\left[3 - f(x)\right]dx

.)

c) Botes. Cada bote cubre

3\ \text{m}^2

\frac{21{,}519}{3} \approx 7{,}17

Con 7 botes solo se cubren

21\ \text{m}^2

, que no bastan: hacen falta 8 botes.

Consejo

Los extremos absolutos en un intervalo cerrado se buscan entre los puntos críticos y los extremos del intervalo: aquí el máximo está justo en $x = 0$ , donde $f' = 0$ pero también es el borde. Compara siempre los valores.

En la primitiva, el $\frac{\pi}{9}$ del argumento obliga a multiplicar por $\frac{9}{\pi}$ : olvidarlo es el error típico. Y en c), los botes se redondean hacia arriba, aunque el decimal sea pequeño.