Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2026 · Junio

Enunciado

Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Dada la función

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \frac{8e^x - 4e^{2x}}{1 + e^x}

halla la primitiva de

f

cuya gráfica tiene por tangente a la recta

y = 2x + 12\ln(2)

en el punto de abscisa

x = 0

.

(Sugerencia: puedes hacer el cambio

e^x = t

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F(x) = 12\ln\left(1 + e^x\right) - 4e^x + 4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay dos partes bien separadas:

Calcular $\int f(x)\,dx$ (es lo que más pesa: $1{,}75$ puntos según los criterios). Con el cambio $e^x = t$ se tiene $dt = e^x\,dx$ , es decir, $dx = \frac{dt}{t}$ , y la integral se convierte en una racional en $t$ . Como el grado del numerador es igual al del denominador, se divide primero.
Elegir la constante. La primitiva buscada, $F$ , tiene en $x = 0$ la tangente $y = 2x + 12\ln 2$ . Eso dice dos cosas: la pendiente, $F'(0) = f(0) = 2$ (que se cumple sola, porque $F' = f$ ; sirve de comprobación), y que el punto de tangencia está en la recta: $F(0) = 2\cdot 0 + 12\ln 2 = 12\ln 2$ . Con esta segunda condición se halla $C$ .

Desarrollo

Cálculo de la integral. Cambio

e^x = t

e^{2x} = t^2

dx = \dfrac{dt}{t}

\int \frac{8e^x - 4e^{2x}}{1 + e^x}\,dx = \int \frac{8t - 4t^2}{1 + t}\cdot\frac{dt}{t} = \int \frac{t\,(8 - 4t)}{(1+t)\,t}\,dt = \int \frac{8 - 4t}{1 + t}\,dt

Numerador y denominador tienen el mismo grado: dividimos. Como

8 - 4t = -4\,(1 + t) + 12

\frac{8 - 4t}{1 + t} = -4 + \frac{12}{1 + t}

Así que

\int \frac{8 - 4t}{1 + t}\,dt = \int\left(-4 + \frac{12}{1+t}\right)dt = -4t + 12\ln|1 + t| + C

Deshaciendo el cambio (

t = e^x > 0

, así que

1 + e^x > 0

y sobra el valor absoluto):

\int f(x)\,dx = -4e^x + 12\ln\left(1 + e^x\right) + C

Comprobación derivando:

\frac{d}{dx}\Bigl[-4e^x + 12\ln(1+e^x)\Bigr] = -4e^x + \frac{12e^x}{1 + e^x} = \frac{-4e^x - 4e^{2x} + 12e^x}{1 + e^x} = \frac{8e^x - 4e^{2x}}{1 + e^x} = f(x) \ \checkmark

Condición de tangencia. Sea

F(x) = -4e^x + 12\ln(1+e^x) + C

Pendiente: $F'(0) = f(0) = \dfrac{8 - 4}{1 + 1} = 2$ , que es justo la pendiente de $y = 2x + 12\ln 2$ ✓.
Punto de tangencia: en $x = 0$ la recta vale $y = 12\ln 2$ , y la gráfica de $F$ debe pasar por ese punto:

F(0) = -4e^0 + 12\ln(1 + e^0) + C = -4 + 12\ln 2 + C = 12\ln 2 \;\Longrightarrow\; C = 4

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Consejo

El paso que más se olvida en el cambio de variable es el $dx$ : si $e^x = t$ , entonces $dx = \frac{dt}{t}$ , no $dx = dt$ . Sin esa $t$ en el denominador la integral no se simplifica.

Y en la racional $\frac{8 - 4t}{1 + t}$ , con grados iguales, hay que dividir antes de integrar: no es $8\ln|1+t|$ ni nada parecido. Por último, la tangente da el punto $F(0) = 12\ln 2$ ; usar solo la pendiente no fija $C$ .