Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2026 · Julio

Enunciado

Ejercicio 1 (parte obligatoria). La velocidad de crecimiento de la población de peces en un lago al cabo del tiempo,

t

en años, viene dada por

P'(t) = 20\,t\,e^{\frac{-t}{10}}

, siendo

P(t)

la población de peces. Sabiendo que la población inicial es de

1000

peces, calcula cuántos tendrá el lago transcurridos

10

años.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;P(t) = 3000 - 200\,(t+10)\,e^{-t/10}\;}

\boxed{\;P(10) = 3000 - \frac{4000}{e} \approx 1528{,}48 \;\longrightarrow\; \text{unos } 1528 \text{ peces}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Nos dan la derivada de la población, no la población. Para recuperar

P(t)

hay que deshacer la derivada: calcular una primitiva de

P'(t)

. Esa primitiva lleva una constante

C

que el dato de la población inicial,

P(0) = 1000

, se encarga de fijar.

La integral

\int t\,e^{-t/10}\,dt

es el caso clásico de integración por partes: polinomio por exponencial, con

u = t

(al derivarla desaparece). Con

P(t)

ya completa, basta con evaluar en

t = 10

Desarrollo

Paso 1: la primitiva por partes. Sacamos el

20

fuera y tomamos

u = t \;\Rightarrow\; du = dt, \qquad dv = e^{-t/10}\,dt \;\Rightarrow\; v = -10\,e^{-t/10}

\int t\,e^{-t/10}\,dt = -10\,t\,e^{-t/10} - \int \left(-10\,e^{-t/10}\right)dt = -10\,t\,e^{-t/10} + 10\int e^{-t/10}\,dt

= -10\,t\,e^{-t/10} - 100\,e^{-t/10} = -10\,(t + 10)\,e^{-t/10}

Multiplicando por

20

P(t) = \int 20\,t\,e^{-t/10}\,dt = -200\,(t + 10)\,e^{-t/10} + C

Paso 2: la constante con la población inicial.

P(0) = -200\cdot(0 + 10)\cdot e^{0} + C = -2000 + C = 1000 \;\Longrightarrow\; C = 3000

La población en función del tiempo es

P(t) = 3000 - 200\,(t + 10)\,e^{-t/10}

Comprobación. Derivando por la regla del producto:

P'(t) = -200\,e^{-t/10} - 200\,(t+10)\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)e^{-t/10} = \bigl(-200 + 20t + 200\bigr)\,e^{-t/10} = 20\,t\,e^{-t/10}

que es la velocidad del enunciado.

Paso 3: la población a los 10 años.

P(10) = 3000 - 200\cdot 20\cdot e^{-1} = 3000 - \frac{4000}{e} \approx 3000 - 1471{,}52 = 1528{,}48

Como el número de peces es entero, a los

10

años habrá unos $1528$ peces.

Otra forma de verlo (regla de Barrow): el aumento de población en esos 10 años es

\int_{0}^{10} 20\,t\,e^{-t/10}\,dt = \Bigl[-200(t+10)e^{-t/10}\Bigr]_{0}^{10} = -\frac{4000}{e} + 2000 \approx 528{,}48

1000 + 528{,}48 = 1528{,}48

, el mismo resultado.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los criterios dan hasta 1,75 puntos por obtener $P(t)$ : el grueso del ejercicio es la primitiva con su constante bien fijada. Si te olvidas de la $C$ , o la calculas como si $e^{0}$ valiera $0$ , la población final sale mal aunque la integral esté perfecta.

Cuidado con el signo de $v$ : la primitiva de $e^{-t/10}$ es $-10\,e^{-t/10}$ , no $10\,e^{-t/10}$ . Derivar tu $P(t)$ al final y ver que sale $20\,t\,e^{-t/10}$ cuesta medio minuto y te lo confirma. Y da la respuesta en peces: un número entero, no $1528{,}48$ sin más.