Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2026 · Reserva 3
Enunciado
Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera la función f:[−π,π]→Rf : [-\pi, \pi] \to \mathbb{R} definida por f(x)=x2cos⁡(x)f(x) = x^{2}\cos(x).

a) [2 puntos] Calcula ∫0πf(x) dx\displaystyle\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx

b) [0,5 puntos] Estudia la simetría de la función ff y deduce de ella la relación que existe entre ∫0πf(x) dx\displaystyle\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx y ∫−ππf(x) dx\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx
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Resultado
  a) ∫0πx2cos⁡(x) dx=−2π≈−6,28  \boxed{\;\text{a)}\ \int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(x)\,dx = -2\pi \approx -6{,}28\;}  b) f es par⇒∫−ππf(x) dx=2∫0πf(x) dx=−4π  \boxed{\;\text{b)}\ f \text{ es par} \Rightarrow \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx = -4\pi\;}
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Estrategia

En a) el integrando es un polinomio por un coseno: es el caso típico de integración por partes, tomando el polinomio como uu (al derivarlo baja de grado). Como es de grado 2, hay que aplicar partes dos veces. Con la primitiva, regla de Barrow. La corrección da hasta 1,5 puntos solo por la primitiva, así que conviene escribirla entera y comprobarla.

En b) basta mirar f(−x)f(-x): si coincide con f(x)f(x), la función es par (simétrica respecto del eje OYOY) y la integral entre −π-\pi y π\pi es el doble de la integral entre 00 y π\pi, sin hacer ninguna cuenta más.
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Desarrollo

a) Primitiva por partes (dos veces). Primera vez, conu=x2⇒du=2x dx,dv=cos⁡(x) dx⇒v=sen⁡(x)u = x^{2} \Rightarrow du = 2x\,dx, \qquad dv = \cos(x)\,dx \Rightarrow v = \operatorname{sen}(x)∫x2cos⁡(x) dx=x2sen⁡(x)−∫2xsen⁡(x) dx\int x^{2}\cos(x)\,dx = x^{2}\operatorname{sen}(x) - \int 2x\operatorname{sen}(x)\,dxSegunda vez, para la integral que queda, conu=2x⇒du=2 dx,dv=sen⁡(x) dx⇒v=−cos⁡(x)u = 2x \Rightarrow du = 2\,dx, \qquad dv = \operatorname{sen}(x)\,dx \Rightarrow v = -\cos(x)∫2xsen⁡(x) dx=−2xcos⁡(x)+∫2cos⁡(x) dx=−2xcos⁡(x)+2sen⁡(x)\int 2x\operatorname{sen}(x)\,dx = -2x\cos(x) + \int 2\cos(x)\,dx = -2x\cos(x) + 2\operatorname{sen}(x)Juntando las dos:F(x)=∫x2cos⁡(x) dx=x2sen⁡(x)+2xcos⁡(x)−2sen⁡(x)+CF(x) = \int x^{2}\cos(x)\,dx = x^{2}\operatorname{sen}(x) + 2x\cos(x) - 2\operatorname{sen}(x) + CComprobación derivando (C=0C = 0):F′(x)=2xsen⁡(x)+x2cos⁡(x)+2cos⁡(x)−2xsen⁡(x)−2cos⁡(x)=x2cos⁡(x)F'(x) = 2x\operatorname{sen}(x) + x^{2}\cos(x) + 2\cos(x) - 2x\operatorname{sen}(x) - 2\cos(x) = x^{2}\cos(x)que es el integrando ✓.

Regla de Barrow. Con sen⁡(π)=0\operatorname{sen}(\pi) = 0, cos⁡(π)=−1\cos(\pi) = -1, sen⁡(0)=0\operatorname{sen}(0) = 0 y cos⁡(0)=1\cos(0) = 1:F(π)=π2⋅0+2π⋅(−1)−2⋅0=−2π,F(0)=0+0−0=0F(\pi) = \pi^{2}\cdot 0 + 2\pi\cdot(-1) - 2\cdot 0 = -2\pi, \qquad F(0) = 0 + 0 - 0 = 0∫0πx2cos⁡(x) dx=F(π)−F(0)=−2π≈−6,28\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(x)\,dx = F(\pi) - F(0) = -2\pi \approx -6{,}28Sale negativa, y no es un error: en (π2,π)(\frac{\pi}{2}, \pi) el coseno es negativo y, multiplicado por x2x^{2} (que ahí es grande), pesa más que la parte positiva de (0,π2)(0, \frac{\pi}{2}). Es una integral, no un área, así que puede ser negativa.
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b) Simetría. Para todo x∈[−π,π]x \in [-\pi, \pi] también −x∈[−π,π]-x \in [-\pi, \pi] yf(−x)=(−x)2cos⁡(−x)=x2cos⁡(x)=f(x)f(-x) = (-x)^{2}\cos(-x) = x^{2}\cos(x) = f(x)porque (−x)2=x2(-x)^{2} = x^{2} y el coseno es par. Luego ff es par: su gráfica es simétrica respecto del eje OYOY.

En consecuencia, el recinto entre −π-\pi y 00 es el reflejo del que hay entre 00 y π\pi, y las dos integrales valen lo mismo:∫−π0f(x) dx=∫0πf(x) dx  ⟹  ∫−ππf(x) dx=2∫0πf(x) dx\int_{-\pi}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{\pi} f(x)\,dx \;\Longrightarrow\; \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{\pi} f(x)\,dxCon el resultado de a), ∫−ππf(x) dx=2(−2π)=−4π≈−12,57\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = 2(-2\pi) = -4\pi \approx -12{,}57.

(Se comprueba con la primitiva: F(−π)=0+2(−π)(−1)−0=2πF(-\pi) = 0 + 2(-\pi)(-1) - 0 = 2\pi, y F(π)−F(−π)=−2π−2π=−4πF(\pi) - F(-\pi) = -2\pi - 2\pi = -4\pi ✓.)
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Consejo

En las partes, uu es el polinomio y dvdv el coseno: al revés, la x2x^{2} sube a x3x^{3} y la integral empeora. Vigila el signo de v=−cos⁡(x)v = -\cos(x) en la segunda vuelta, que es donde se pierden los puntos.

En b) justifica la paridad calculando f(−x)f(-x); decir "es par" sin la cuenta no da los 0,25 puntos de la simetría. Y no te asustes por el −2π-2\pi: una integral definida puede ser negativa.
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