Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2026 · Reserva 1
Enunciado
Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera la función f:[−2,2]→Rf : [-2, 2] \to \mathbb{R} definida por f(x)=x∣x∣+1f(x) = \dfrac{x}{|x| + 1}.

a) [1,5 puntos] Calcula ∫02f(x) dx\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx.

b) [1 punto] Estudia la simetría de la función ff y deduce de ella el valor de ∫−22f(x) dx\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x)\,dx.
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Resultado
  a) ∫02f(x) dx=2−ln⁡3≈0,9014  \boxed{\;\text{a) } \int_{0}^{2} f(x)\,dx = 2 - \ln 3 \approx 0{,}9014\;}  b) f(−x)=−f(x): impar;∫−22f(x) dx=0  \boxed{\;\text{b) } f(-x) = -f(x):\ \text{impar};\quad \int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 0\;}
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Estrategia

En a) el intervalo de integración es [0,2][0,2], donde x≥0x \geq 0 y por tanto ∣x∣=x|x| = x: el valor absoluto desaparece y queda la racional xx+1\frac{x}{x+1}. Como numerador y denominador tienen el mismo grado, se divide (o se suma y resta 11 arriba): xx+1=1−1x+1\frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}, cuya primitiva es inmediata. Después, regla de Barrow.

En b) el valor absoluto «no ve» el signo de xx, pero el numerador sí: al cambiar xx por −x-x la función cambia de signo. Es una función impar, simétrica respecto del origen. En un intervalo simétrico [−2,2][-2,2], lo que aporta la parte negativa anula exactamente lo que aporta la positiva, y la integral vale 00 sin hacer ninguna cuenta más.
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Desarrollo

a) Integral en [0,2][0, 2]. Para 0≤x≤20 \leq x \leq 2 es ∣x∣=x|x| = x, luego f(x)=xx+1f(x) = \dfrac{x}{x+1}. Sumando y restando 11 en el numerador:xx+1=(x+1)−1x+1=1−1x+1\frac{x}{x+1} = \frac{(x+1) - 1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}Una primitiva es∫(1−1x+1)dx=x−ln⁡∣x+1∣+C\int \left(1 - \frac{1}{x+1}\right)dx = x - \ln|x+1| + C(ff es continua en [0,2][0,2], así que se puede aplicar la regla de Barrow; además x+1>0x+1>0 en ese intervalo.)∫02xx+1 dx=[ x−ln⁡(x+1) ]02=(2−ln⁡3)−(0−ln⁡1)=2−ln⁡3≈0,9014\int_{0}^{2} \frac{x}{x+1}\,dx = \Bigl[\,x - \ln(x+1)\,\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(2 - \ln 3\bigr) - \bigl(0 - \ln 1\bigr) = 2 - \ln 3 \approx 0{,}9014
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b) Simetría. El dominio [−2,2][-2,2] es simétrico respecto de 00, y para todo xx de él:f(−x)=−x∣−x∣+1=−x∣x∣+1=−f(x)f(-x) = \frac{-x}{|-x| + 1} = \frac{-x}{|x| + 1} = -f(x)Luego ff es impar: su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas.

Consecuencia para la integral. Partimos la integral en 00 y en el primer tramo hacemos el cambio x=−ux = -u (dx=−dudx = -du; x=−2→u=2x=-2 \to u=2, x=0→u=0x=0 \to u=0):∫−20f(x) dx=∫20f(−u) (−du)=∫02f(−u) du=−∫02f(u) du=−(2−ln⁡3)\int_{-2}^{0} f(x)\,dx = \int_{2}^{0} f(-u)\,(-du) = \int_{0}^{2} f(-u)\,du = -\int_{0}^{2} f(u)\,du = -(2 - \ln 3)Por tanto,∫−22f(x) dx=∫−20f(x) dx+∫02f(x) dx=−(2−ln⁡3)+(2−ln⁡3)=0\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \int_{-2}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{2} f(x)\,dx = -(2 - \ln 3) + (2 - \ln 3) = 0Geométricamente: en [−2,0][-2,0] la gráfica queda por debajo del eje con un recinto idéntico (girado 180∘180^\circ respecto del origen) al que queda por encima en [0,2][0,2]; las dos aportaciones son iguales y de signo contrario.
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Consejo

En a) quita el valor absoluto antes de integrar: en [0,2][0,2] es ∣x∣=x|x| = x. Y ojo con la primitiva de xx+1\frac{x}{x+1}: no es un logaritmo directamente (el numerador no es la derivada del denominador); primero hay que dividir.

En b) piden deducir el resultado de la simetría. Comprueba f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) por escrito y di que el intervalo es simétrico: sin eso, el «vale 00» se queda sin justificar. Integral nula no significa área nula: el área encerrada con el eje sería 2(2−ln⁡3)2(2-\ln 3).
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