Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio

a) Dominio. $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ para todo $x$ real, así que el denominador nunca se anula:$$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$Continuidad. $f$ es un cociente de polinomios (continuos) con denominador que no se anula: $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

b) Asíntotas verticales. No hay: $f$ está definida y es continua en todo $\mathbb{R}$.

Asíntota horizontal. El grado del numerador (1) es menor que el del denominador (2):$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+1}{x^2+1} = 0 \;\Longrightarrow\; y = 0 \ \text{(en } +\infty \text{ y en } -\infty\text{)}$$Asíntota oblicua. No hay: ya tiene horizontal en los dos lados.

Derivada. Por la regla del cociente:$$f'(x) = \frac{1\cdot(x^2+1) - (x+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2+1)^2}$$Puntos críticos. $-x^2 - 2x + 1 = 0 \iff x^2 + 2x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{-2 \pm\sqrt{8}}{2} = -1 \pm\sqrt{2}$.$$x_1 = -1 - \sqrt{2} \approx -2{,}414,\qquad x_2 = -1 + \sqrt{2} \approx 0{,}414$$Signo de $f'$. El denominador es positivo, así que manda el numerador $-x^2 - 2x + 1$, una parábola hacia abajo: negativa fuera de las raíces y positiva entre ellas.c) Extremos relativos. En $x_1 = -1-\sqrt 2$, $f'$ pasa de $-$ a $+$: mínimo relativo. En $x_2 = -1+\sqrt 2$, pasa de $+$ a $-$: máximo relativo.

Valores. Con $x_2 = -1 + \sqrt 2$: $x_2 + 1 = \sqrt 2$ y $x_2^2 + 1 = (3 - 2\sqrt 2) + 1 = 4 - 2\sqrt 2$, así que$$f(x_2) = \frac{\sqrt 2}{4 - 2\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2\,(4 + 2\sqrt 2)}{16 - 8} = \frac{4\sqrt 2 + 4}{8} = \frac{1 + \sqrt 2}{2} \approx 1{,}207$$Con $x_1 = -1 - \sqrt 2$: $x_1 + 1 = -\sqrt 2$ y $x_1^2 + 1 = 4 + 2\sqrt 2$:$$f(x_1) = \frac{-\sqrt 2}{4 + 2\sqrt 2} = \frac{-\sqrt 2\,(4 - 2\sqrt 2)}{16 - 8} = \frac{-4\sqrt 2 + 4}{8} = \frac{1 - \sqrt 2}{2} \approx -0{,}207$$¿Son absolutos? La función es continua en $\mathbb{R}$ y tiende a 0 en $\pm\infty$:

• En $(-\infty, x_1)$ baja desde valores cercanos a 0 hasta $f(x_1) < 0$; en $(x_1, x_2)$ sube hasta $f(x_2)$; en $(x_2, +\infty)$ baja hacia 0 sin llegar (para $x > -1$, $f(x) > 0$).
• Así que ningún valor supera $f(x_2) \approx 1{,}207$ ni baja de $f(x_1) \approx -0{,}207$.

Los dos extremos relativos son también absolutos.

d) Puntos de corte. Con el eje X: $x + 1 = 0 \Rightarrow (-1, 0)$. Con el eje Y: $f(0) = 1 \Rightarrow (0, 1)$.

Signo. $f < 0$ si $x < -1$ y $f > 0$ si $x > -1$.

Gráfica. Viene casi pegada al eje X por debajo desde $-\infty$, baja hasta el mínimo $(-2{,}41;\ -0{,}21)$, sube cortando el eje X en $(-1, 0)$ y el eje Y en $(0, 1)$ hasta el máximo $(0{,}41;\ 1{,}21)$ y después baja acercándose al eje X por encima.