Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2026 · Junio

También trata: Vectores y ángulos · Rectas y planos

Enunciado

Consideramos la recta

s

del espacio con ecuación:

\frac{x - 1}{0} = y - 1 = \frac{z - 1}{-1}.

Se pide:

a) Encontrar una ecuación del plano que pasa por el punto

(1, 1, 1)

y es perpendicular a

s

. (0.5 puntos)

b) Encontrar los puntos de la recta

s

que están a distancia 4 del origen. (1 punto)

c) Calcular el ángulo que forma la recta

s

con el eje Z. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \pi: y - z = 0}

\boxed{\text{b) } \left(1,\ 1 \pm \tfrac{\sqrt{26}}{2},\ 1 \mp \tfrac{\sqrt{26}}{2}\right)}

\boxed{\text{c) } \theta = 45^\circ = \tfrac{\pi}{4}\ \text{rad}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es leer bien la recta: el 0 en el denominador no es una división, solo dice que la primera componente del director es 0, es decir, que en

s

x

no cambia (

x = 1

). De la continua salen un punto

P_s = (1, 1, 1)

y el director

\vec d_s = (0, 1, -1)

a) Un plano perpendicular a $s$ tiene como normal el director de $s$ .
b) Tomamos el punto genérico de $s$ y le imponemos que su distancia al origen sea 4: sale una ecuación de segundo grado con dos soluciones.
c) El ángulo de dos rectas es el de sus directores (el agudo, con valor absoluto); el eje Z tiene director $(0, 0, 1)$ .

Desarrollo

Datos de $s$ .

P_s = (1, 1, 1),\qquad \vec d_s = (0, 1, -1),\qquad s: \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \end{cases}

a) Plano perpendicular a $s$ . Su normal es

\vec d_s = (0, 1, -1)

0\,(x - 1) + 1\,(y - 1) - 1\,(z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi: y - z = 0

Comprobación.

(1, 1, 1)

1 - 1 = 0

✓.

b) Distancia al origen del punto genérico. Un punto de

s

X_t = (1,\ 1 + t,\ 1 - t)

d(O, X_t)^2 = 1^2 + (1 + t)^2 + (1 - t)^2 = 1 + 2 + 2t^2 = 3 + 2t^2

Condición.

3 + 2t^2 = 4^2 = 16 \;\Longrightarrow\; t^2 = \frac{13}{2} \;\Longrightarrow\; t = \pm\sqrt{\frac{13}{2}} = \pm\frac{\sqrt{26}}{2}

Los dos puntos.

Q_1 = \left(1,\ 1 + \frac{\sqrt{26}}{2},\ 1 - \frac{\sqrt{26}}{2}\right),\qquad Q_2 = \left(1,\ 1 - \frac{\sqrt{26}}{2},\ 1 + \frac{\sqrt{26}}{2}\right)

Aproximadamente,

Q_1 \approx (1;\ 3{,}55;\ -1{,}55)

Q_2 \approx (1;\ -1{,}55;\ 3{,}55)

.

Comprobación.

|Q_1|^2 = 1 + 3{,}5495^2 + 1{,}5495^2 \approx 1 + 12{,}599 + 2{,}401 = 16

✓.

c) Ángulo entre los directores. El eje Z tiene director

\vec k = (0, 0, 1)

\cos\theta = \frac{|\vec d_s\cdot\vec k|}{|\vec d_s|\,|\vec k|} = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{0 + 1 + 1}\cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}

\theta = \arccos\frac{1}{\sqrt{2}} = 45^\circ = \frac{\pi}{4}\ \text{rad}

Consejo

Un denominador 0 en la ecuación continua es un convenio: la componente del director es 0 y esa coordenada es constante en toda la recta. No lo tomes como un error del enunciado.

En el ángulo entre rectas pon el valor absoluto en el producto escalar: sin él, con el director $(0, 1, -1)$ te saldría $\cos\theta = -\tfrac{1}{\sqrt 2}$ y $135^\circ$ , y el ángulo entre dos rectas nunca pasa de $90^\circ$ .