Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Andalucía · 2026 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Considera los puntos

A(1, 0, 2)

B(-1, 1, 0)

C(0, -1, 1)

D(1, 1, 1)

.

a) [1,5 puntos] Calcula la longitud de la altura del tetraedro de vértices

A, B, C, D

trazada desde el vértice

D

.

b) [1 punto] Determina el ángulo que forma la recta que pasa por

A

D

con el plano que contiene a los puntos

A, B

C

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ \pi_{ABC} \equiv x - z + 1 = 0, \qquad h = d(D, \pi) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71 \ \text{u}\;}

\boxed{\;\text{b)}\ \operatorname{sen}\alpha = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \alpha = 30^{\circ}\;}

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Estrategia

La altura trazada desde

D

es el segmento perpendicular desde

D

a la cara opuesta, que está en el plano

ABC

. Así que su longitud es la distancia del punto $D$ al plano $ABC$ . El camino: hallar ese plano (la corrección da 0,75 puntos por su ecuación) con el producto vectorial de

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

, y aplicar la fórmula de la distancia de un punto a un plano. Se puede comprobar con el volumen:

V = \frac{1}{3}\cdot\text{área de la base}\cdot h

.

En b) se aprovecha todo: la recta

AD

tiene director

\overrightarrow{AD}

y el plano, normal

\vec{n}

. El ángulo entre recta y plano es el complementario del que forman el director y la normal, por eso se calcula con el seno.

Desarrollo

Vectores.

\overrightarrow{AB} = (-2,\ 1,\ -2), \qquad \overrightarrow{AC} = (-1,\ -1,\ -1), \qquad \overrightarrow{AD} = (0,\ 1,\ -1)

a) Plano $ABC$ . Su vector normal es

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right| = (-1 - 2)\,\vec{i} - (2 - 2)\,\vec{j} + (2 + 1)\,\vec{k} = (-3,\ 0,\ 3)

que es proporcional a

\vec{n} = (1,\ 0,\ -1)

. El plano es

x - z + d = 0

, y como pasa por

A(1, 0, 2)

1 - 2 + d = 0

d = 1

\pi \equiv x - z + 1 = 0

Comprobación:

B

-1 - 0 + 1 = 0

✓ y

C

0 - 1 + 1 = 0

✓. Y

D

1 - 1 + 1 = 1 \neq 0

D

no está en el plano, así que el tetraedro existe.

Altura desde $D$ = distancia de

D(1, 1, 1)

\pi

h = d(D, \pi) = \frac{|1 - 1 + 1|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71 \ \text{u}

Comprobación con el volumen. El producto mixto es

\bigl[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\bigr] = (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AD} = (-3)\cdot 0 + 0\cdot 1 + 3\cdot(-1) = -3

luego

V = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}\ \text{u}^{3}

. El área de la base es

\frac{1}{2}\,|(-3, 0, 3)| = \frac{\sqrt{18}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\ \text{u}^{2}

, y de

V = \frac{1}{3}\cdot\text{Área}\cdot h

h = \frac{3V}{\text{Área}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

que coincide con la distancia ✓.

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b) Ángulo entre la recta $AD$ y el plano $\pi$ . Director de la recta:

\vec{u} = \overrightarrow{AD} = (0, 1, -1)

; normal del plano:

\vec{n} = (1, 0, -1)

. Si

\alpha

es el ángulo entre recta y plano,

\operatorname{sen}\alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|} = \frac{|0\cdot 1 + 1\cdot 0 + (-1)(-1)|}{\sqrt{0 + 1 + 1}\,\sqrt{1 + 0 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{2}

\alpha = \operatorname{arc\,sen}\frac{1}{2} = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}\ \text{rad}

(El ángulo entre

\vec{u}

\vec{n}

60^{\circ}

, y el de la recta con el plano es su complementario,

90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}

.)

Con esta escena se ven a la vez el plano

\pi

, la recta

AD

(punto

A

y director

\overrightarrow{AD}

) y el punto

D

, con su distancia al plano y el ángulo:

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Consejo

La altura desde $D$ es la distancia de $D$ al plano de la cara opuesta: no hace falta hallar el pie de la perpendicular. Comprueba que $A$ , $B$ y $C$ cumplen la ecuación del plano antes de seguir; un signo mal en el producto vectorial lo estropea todo.

En el ángulo recta-plano va el seno, no el coseno: con el coseno saldría $60^{\circ}$ , que es el ángulo entre el director y la normal. Y el valor absoluto en el numerador asegura un ángulo entre $0^{\circ}$ y $90^{\circ}$ .